Resolva o problema de valor inicial

dy/dt = e^(-t) \* sec^2(pi \* e^(-t))

y(ln(4)) = 2 / pi

Passo 1

Calma, muita calma nessa hora! Não se assustem com a questão. Em outras palavras ela nos pede para resolver uma equação diferencial ordinária (EDO). Apesar deste tópico não ter sido estudado ainda, podemos resolver a questão com o que já aprendemos. O procedimento é o seguinte: vamos separa os diferenciais d y e d t , deixando cada um deles em um membro. Vejamos um exemplo abaixo.

d y d t = f ( t ) g ( y )

g y d y = f t d t

Se g y = 1 , basta que nós integremos ambos os membros para descobrir o valor de y . Isto é:

y t = ∫ f t   d t

E consequentemente,

y t = F t + k

A questão do valor inicial é para descobrir quem é o nosso k .

Passo 2

Vejamos abaixo a EDO que devemos resolver.

d y d t = e - t sec 2 ⁡ π e - t

Vamos separar os diferenciais. Desta forma, temos:

d y = e - t sec 2 ⁡ π e - t d t

Vamos mudar as variáveis agora. Chamando u = π e - t , consequentemente, d u = - π e - t d t . Portanto, escrevemos a equação acima da seguinte forma:

d y = - sec 2 ⁡ u π d u

Integrando ambos os lados, obtemos:

∫ d y = ∫ - sec 2 ⁡ u π d u

y = - tg ⁡ u π + k

Voltando para a variável inicial, temos:

y = - tg ⁡ π e - t π + k

E assim conseguimos resolver a EDO!

Passo 3

Agora que resolvemos a EDO, nós já finalizamos a questão? A resposta para esta pergunta é bem simples: Não! Ainda não resolvemos o problema de valor inicial. Para isto, basta substituir no lugar de t = ln ⁡ 4 , e com isto obtemos y = 2 / π . Temos então:

y ln ⁡ 4 = - tg ⁡ π e - l n ⁡ 4 π + k = 0

- tg ⁡ π 4 π + k = 0

- 1 π + k = 0

k = 1 / π

Portanto, a nossa solução é:

y = - tg ⁡ π e - t π + 1 π

Resposta

y = - tg ⁡ π e - t π + 1 π

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