Enunciado

Resolva o problema de valor inicial

(d y)/(d t) = e^(- t) sec^2 (pi e^(- t))

y (ln 4) = 2 // pi

Passo 1

Calma, muita calma nessa hora! Não se assustem com a questão. Em outras palavras ela nos pede para resolver uma equação diferencial ordinária (EDO). Apesar deste tópico não ter sido estudado ainda, podemos resolver a questão com o que já aprendemos. O procedimento é o seguinte: vamos separa os diferenciais d y e d t , deixando cada um deles em um membro. Vejamos um exemplo abaixo.

(d y)/(d t) = (f ( t ))/(g ( y ))

g (y) d y = f (t) d t

Se g (y) = 1 , basta que nós integremos ambos os membros para descobrir o valor de y . Isto é:

y (t) = int f (t) d t

E consequentemente,

y (t) = F (t) + k

A questão do valor inicial é para descobrir quem é o nosso k .

Passo 2

Vejamos abaixo a EDO que devemos resolver.

(d y)/(d t) = e^(- t) sec^2 (pi e^(- t))

Vamos separar os diferenciais. Desta forma, temos:

d y = e^(- t) sec^2 (pi e^(- t)) d t

Vamos mudar as variáveis agora. Chamando u = pi e^(- t) , consequentemente, d u = - pi e^(- t) d t . Portanto, escrevemos a equação acima da seguinte forma:

d y = - (sec^2 u)/(pi) d u

Integrando ambos os lados, obtemos:

int d y = int - (sec^2 u)/(pi) d u

y = - (tg u)/(pi) + k

Voltando para a variável inicial, temos:

y = - (tg (pi e^(- t)))/(pi) + k

E assim conseguimos resolver a EDO!

Passo 3

Agora que resolvemos a EDO, nós já finalizamos a questão? A resposta para esta pergunta é bem simples: Não! Ainda não resolvemos o problema de valor inicial. Para isto, basta substituir no lugar de t = ln 4 , e com isto obtemos y = 2 // pi . Temos então:

y (ln 4) = - (tg (pi e^(- l n 4)))/(pi) + k = 0

- (tg ((pi)/(4)))/(pi) + k = 0

- (1)/(pi) + k = 0

k = 1 // pi

Portanto, a nossa solução é:

y = - (tg (pi e^(- t)))/(pi) + (1)/(pi)

Resposta

y = - (tg (pi e^(- t)))/(pi) + (1)/(pi)

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