Resolva o problema de valor inicial

d^2y / dx^2 = sec^2(x)

y(0) = 0

y' (0) = 1

Passo 1

Calma, muita calma nessa hora! Não se assustem com a questão. Em outras palavras ela nos pede para resolver uma equação diferencial ordinária (EDO). Apesar deste tópico não ter sido estudado ainda, podemos resolver a questão com o que já aprendemos. O procedimento é o seguinte: vamos separa os diferenciais d y e d t , deixando cada um deles em um membro. Vejamos um exemplo abaixo.

d y d t = f ( t ) g ( y )

g y d y = f t d t

Se g y = 1 , basta que nós integremos ambos os membros para descobrir o valor de y . Isto é:

y t = ∫ f t   d t

E consequentemente,

y t = F t + k

A questão do valor inicial é para descobrir quem é o nosso k .

Passo 2

Vejamos abaixo a EDO que devemos resolver.

d 2 y d x 2 = sec 2 ⁡ x

Esta é uma EDO de segunda ordem. Por isto, precisamos integrar a nossa função 2 vezes. Na primeira integração, obteremos:

d 2 y d x 2 = d d x y ' = d d x d y d x = f ( x )

Portanto, temos:

d y d x = ∫ f x d x

E, se integrarmos novamente, obteremos a nossa função. Vamos fazer então a nossa primeira integração.

d y d x = ∫ sec 2 ⁡ x d x

d y d x = tg ⁡ x + k 1

Passo 3

Vamos utilizar agora a nossa primeira condição de contorno, ou nosso valor inicial. Quando y ' 0 = 1 , desta forma, temos:

y ' 0 = tg ⁡ 0 + k 1 = 1

0 + k 1 = 1

k 1 = 1

Portanto, nossa função é:

d y d x = y ' x = tg ⁡ x + 1

Passo 4

Precisamos integrar mais uma vez a função obtida no passo anterior. Sendo assim, temos:

y = ∫ tg ⁡ x + 1   d x

y = - ln ⁡ cos ⁡ x + x + k 2

E agora, resolvemos todas as integrações possíveis, só nos falta descobrir o valor k 2 . Para isto, basta substituir o valor de y 0 = 0 . Logo,

y 0 = - ln ⁡ cos ⁡ 0 + 0 + k 2 = 0

- ln ⁡ 1 + k 2 = 0

0 + k 2 = 0

k 2 = 0

Portanto, temos:

y = - ln ⁡ cos ⁡ x + x

Resposta

y = - ln ⁡ cos ⁡ x + x

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