Enunciado

Nos Exercícios 35-38, resolva o problema de valor inicial.

35-

d y d x = e - x - y - 2 ,   y 0 = - 2

Passo 1

Podemos escrever a equação acima da seguinte maneira:

d y d x = e - x - 2 e y

Pois a diminuição dos expoentes significa a divisão de uma exponencial por outra de mesma base, logo se passarmos e y para o outro lado teremos:

e y d y d x = e - x - 2

Agora passando d x para o outro lado teremos:

e y   d y = e - x - 2 d x

O que configura nossa equação diferencial separável.

Passo 2

Se fizermos a integral indefinida nos dois lados nós teremos:

∫ e y d y = ∫ e - x - 2 d x

Para a integral de e y não temos grandes novidades pois é ela mesma, agora para a integral de e - x - 2 precisamos fazer a substituição.

u = - x - 2

d u = - d x

∫ e - x - 2 d x = - ∫ e u = - e u = - e - x - 2

Logo nossa integral fica:

e y = - e - x - 2 + c

Passo 3

Agora para encontrar o valor da constante precisamos aplicar a condição inicial que nos diz que y = - 2 e x = 0 .

Substituindo esses valores na expressão teremos:

e - 2 = - e - 2 + c

Logo:

c = 2 e - 2

Passo 4

Substituindo o valor de c na expressão teremos:

e y = - e - x - 2 + 2 e - 2

Agora precisamos deixar y em função de x , para isso vamos tirar o logaritmo neperiano nos dois lados, o que nos deixa com:

y = ln ⁡ ( - e - x - 2 + 2 e - 2 )

Isolando e - 2 dentro do log nos deixa com:

y = l n ⁡ ( e - 2 - e - x + 2 )

Da propriedade que diz que lo g a  b ⁡ + log a ⁡ c = log a ⁡ b c nós podemos escrever a equação acima como:

y = ln ⁡ e - 2 + ln ⁡ ( 2 - e - x )

Que é:

y = - 2 + l n ⁡ ( 2 - e x )

Resposta

y = - 2 + l n ⁡ ( 2 - e x )

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