Enunciado

Use o Teorema da Divergencia para calcular a integral de superfície ∬ S F ⋅ d S ; ou seja, calcular o fluxo de F através de S .

F x , y , z = 3 x y 2 i + x e z j + ^ 3   k , S é a superfície do sólido limitado pelo cilindro y 2 + z 2 = 1 e pelos planos x = - 1 e x = 2 .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Primeiro vamos delimitar uma região E que é delimitada por S

E = x , r , θ :   - 1 ≤ x ≤ 2 ,   0 ≤ r ≤ 1 ,   o ≤ θ ≤ 2 π

Passo 2

Pelo teorema da divergência , temos que:

∬ S F d s = ∭ E d i v F d v

d i v   F → = 3 y 2 + 0 + 3 z 2

= 3 y 2 + z 2

Passo 3

Resolvendo a integral, teremos:

∭ E d i v F d v = ∫ - 1 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 3 r 2 ⋅ r d r d θ d x

= 3 ∫ - 1 2 d x ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 1 r 3 d r

= 3 x - 1 2 θ 0 2 π r 4 4 0 1

= 3 2 - - 1 2 π - 0 1 4 - 0

∬ S F d s = ∭ E d i v F d v = 18 π 4 = 9 π 2

O Fluxo de F através de S será:

∬ S F d s = 9 π 2

Resposta

∬ S F d s = 9 π 2

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