Enunciado

Resolva os problemas de valor inicial.

y^(' ') - y^' - 12 y = 0 , y ( 1 ) = 0 , y^' (1) = 1

Passo 1

Galerinha, se tivermos uma equação diferencial de segunda ordem da forma

a y^(' ') + b y^' + c y = 0

uma solução pode ser encontrada através das raízes da equação auxiliar (ou equação característica) que é escrita como

a r^2 + b r + c = 0

As raízes dessa equação vão ajudar a dar forma a solução da equação diferencial. A tabela abaixo nos dá as possibilidades de raízes e suas respectivas formas de soluções gerais.

As constantes C_1 e C_2 podem ser encontradas através dos problemas de valor inicial! São dados dois valores para serem substituídos na solução geral a fim de encontrarmos esses valores.

Vamos escrever a equação característica da nossa questão:

r^2 - r - 12 = 0

Usando a fórmula de Bhaskara para achar as raízes:

r = (- b +- sqrt(b^2 - 4 a c))/(2 a)

r_1 = (1 + sqrt(1 - 4 (1) (- 12)))/(2) = (1 + 7)/(2) = 4

r_1 = (1 - sqrt(1 - 4 (1) (- 12)))/(2) = (1 - 7)/(2) = (- 6)/(2) = - 3

Passo 2

Encontramos no passo anterior as raízes complexas! Portanto, a solução geral pode ser escrita da seguinte forma:

y = C_1 e^(4 x) + C_2 e^(- 3 x)

Vamos aplicar os valores iniciais dados para encontrarmos as constantes! Quando y (1) = 0 :

0 = C_1 e^4 + C_2 e^(- 3)

C_1 = - C_2 e^(- 7)

Para aplicarmos o segundo valor, precisamos derivar a solução geral. Assim,

y^' = 4 C_1 e^(4 x) - 3 C_2 e^(- 3 x)

Aplicando o valor y^' (1) = 1 :

1 = 4 C_1 e^4 - 3 C_2 e^(- 3)

1 = 4 (- C_2 e^(- 7)) e^4 - 3 C_2 e^(- 3)

- 7 C_2 e^(- 3) = 1

C_2 = - (e^3)/(7) -> C_1 = - (e^(- 4))/(7)

Assim, a solução final é igual a:

y = - (e^(- 4))/(7) e^(4 x) - (e^3)/(7) e^(- 3 x)

Resposta

A solução final da equação é:

y = - (e^(- 4))/(7) e^(4 x) - (e^3)/(7) e^(- 3 x)

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