Enunciado

Use o Teste da Razão para determinar se a série é convergente ou divergente.

19. ∑ n = 1 ∞ n 100 100 n n !

Passo 1

O teste da razão é o seguinte

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

Sendo a n a sequência da série que estamos testando. Se L < 1 a série é convergente, mas se   L > 1 , a série é divergente.

Na nossa série o teste fica:

L = lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) 100 100 n + 1 ( n + 1 ) ! n 100 100 n n ! = l i m n → ∞ ( n + 1 ) 100 100 n + 1 ( n + 1 ) ! n ! n 100 100 n

Vamos simplificar alguns termos mais simples logo de cara, como o 100 n :

L = l i m n → ∞ 100 ( n + 1 ) 100 ( n + 1 ) ! n ! n 100

Aplicando o módulo, o limite irá continuar o mesmo:

L = l i m n → ∞ 100 ( n + 1 ) 100 ( n + 1 ) ! n ! n 100

Passo 2

Como ainda não podemos aplicar o limite, já que daria uma indeterminação ∞ / ∞ , vamos abrir o fatorial no denominador:

L = l i m n → ∞ 100 ( n + 1 ) 100 n + 1 n ! n ! n 100

E simplificar n ! :

L = l i m n → ∞ 100 ( n + 1 ) 100 n + 1 = l i m n → ∞ 100 ( n + 1 ) 100 n 100 n + 1

Podemos também simplificar o n + 1 no denominador:

L = l i m n → ∞ 100 ( n + 1 ) 99 n 100

Ainda estamos com o problema de indeterminação, precisamos fazer o n no numerador ficar em evndencia para simplificar com o n 100 do denominador:

L = l i m n → ∞ 100 n 1 + 1 n 99 n 100 = l i m n → ∞ 100 n 99 1 + 1 n 99 n 100

Agora podemos simplificar:

L = l i m n → ∞ 100 1 + 1 n 99 n

Passo 3

E aí sim podemos aplicar o limite, o termo 1 / n irá tender para zero e o n no denominador fará tudo tender para zero, então:

L = 0

E como L < 1 , nossa série é absolutamente convergente.

Resposta

C o n v e r g e n t e

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