Resolva os problemas de valor inicial.

y'' - 6y' + 10y = 0, y(0) = 2, y'(0) = 3

Passo 1

Galerinha, se tivermos uma equação diferencial de segunda ordem da forma

a y ' ' + b y ' + c y = 0

uma solução pode ser encontrada através das raízes da equação auxiliar (ou equação característica) que é escrita como

a r 2 + b r + c = 0

As raízes dessa equação vão ajudar a dar forma a solução da equação diferencial. A tabela abaixo nos dá as possibilidades de raízes e suas respectivas formas de soluções gerais.

As constantes C 1 e C 2 podem ser encontradas através dos problemas de valor inicial! São dados dois valores para serem substituídos na solução geral a fim de encontrarmos esses valores.

Vamos escrever a equação característica da nossa questão:

r 2 - 6 r + 10 = 0

Usando a fórmula de Bhaskara para achar as raízes:

r = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

r 1 = 6 + 36 - 4 1 10 2 = 6 + 2 i 2 = 3 + i

r 1 = 6 - 36 - 4 1 10 2 = 6 - 2 i 2 = 3 - i

Passo 2

Encontramos no passo anterior as raízes complexas! Portanto, a solução geral pode ser escrita da seguinte forma:

y = e 3 x ( C 1 cos ⁡ x + C 2 sen ⁡ x )

Vamos aplicar os valores iniciais dados para encontrarmos as constantes! Quando y 0 = 2 :

2 = e 0 ( C 1 cos ⁡ 0 + C 2 sen ⁡ 0 )

C 1 = 2

Para aplicarmos o segundo valor, precisamos derivar a solução geral. Assim,

y ' = 3 e 3 x C 1 cos ⁡ x + C 2 sen ⁡ x + e 3 x ( - C 1 sen ⁡ x + C 2 cos ⁡ x )

Aplicando o valor y ' 0 = 3 :

3 = 3 e 0 ( 2 cos ⁡ 0 + C 2 sen ⁡ 0 ) + e 0 ( - 2 sen ⁡ 0 + C 2 cos ⁡ 0 )

3 = 3 2 + C 2

C 2 = - 3

Assim, a solução final é igual a:

y = e 3 x ( 2 cos ⁡ x - 3 sen ⁡ x )

Resposta

A solução final da equação é:

y = e 3 x ( 2 cos ⁡ x - 3 sen ⁡ x )

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