Enunciado

Use o Teorema de Stokes para calcular ∬ S r o t F . d S

F x , y , z = e x y i + e x z j + x 2 z k

S é metade do elipsoide 4 x 2 + y 2 + 4 z 2 = 4 está à direita do plano x z , orientado na direção positiva do eixo y .

Passo 1

Pessoal, o Teorema de Stokes é dada por

∬ S r o t F . d S = ∫ C F . d r

onde C é a curva fechada que forma a fronteira, simples, suave por partes e com orientação positiva.

A fronteira aqui é definida pela intercessão do paraboloide com o plano x z , que resulta no círculo 4 x 2 + 4 z 2 = 4 → x 2 + z 2 = 1 . Parametrizando a circunferência, temos:

C : r t = cos ⁡ t i + 0 j + sen ⁡ t k ,   o ≤ t ≤ 2 π

Portanto,

d r = - sen ⁡ t i + 0 j + cos ⁡ t k   d t

O campo vetorial pode ser reescrito como

F r t = e 0 i + e cos ⁡ t sen ⁡ t j + cos 2 ⁡ t sen ⁡ t k

F r t = i + e cos ⁡ t sen ⁡ t j + cos 2 ⁡ t sen ⁡ t k

Passo 2

Aplicando o Teorema de Stokes, temos:

∫ C F . d r = ∫ 0 2 π i + e cos ⁡ t sen ⁡ t j + cos 2 ⁡ t sen ⁡ t k - sen ⁡ t i + 0 j + cos ⁡ t k d t

∫ C F . d r = ∫ 0 2 π - sin ⁡ t + cos 3 ⁡ t sen ⁡ t d t

∫ C F . d r = ∫ 0 2 π 1 - cos 3 ⁡ t - sen ⁡ t d t

Vamos resolver essa integral pela substituição de variável! Seja cos ⁡ t = u → - sen ⁡ t d t = d u . Além disso, os limites de integração vão mudar de 0   a   2 π para c o s ⁡ ( 0 ) a c o s ⁡ ( 2 π ) . Assim,

∫ C F . d r = ∫ 1 1 1 - u 3 d u = 0

Resposta

∬ S r o t F . d S = 0

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