Resolva os problemas de valor inicial:

dy/dt = 1/(25 + 9t^2), y(-5/3) = pi/30

Passo 1

Isso aí é uma EDO separável. A gente faz o seguinte:

d y =   1 25 + 9 t 2 d t

E aí pra resolver a gente integra os dois lados:

∫ d y = ∫ 1 25 + 9 t 2 d t

Bom, essa do lado direto vai ser y mesmo né, a gente precisa integrar o outro lado então...

Passo 2

Vamos fazer essa aqui:

∫ 1 25 + 9 t 2 d t

Isso aqui é integral de arco tangente. Nesse caso aqui fica assim:

1 15 a r c t g   3 x 5 + C

Passo 3

Vamos achar o valor desse C aí agora. O enunciado deu pra gente que y - 5 3 = π 30 . Vamos jogar isso ali agora que a gente já mata esse C :

1 15 a r c t g   - 1 + C = π 30

= 1 15 - π 4 + C = π 30

C = π 30 + π 60

C = π 20

Nosso resultado então fica:

y = 1 15 a r c t g   3 x 5 + π 20  

Prontinho!

Resposta

y = 1 15 a r c t g   3 x 5 + π 20

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