Enunciado

Resolva os problemas de valor inicial:

(d y)/(d t) = (1)/(25 + 9 t^2) , y (- (5)/(3)) = (pi)/(30)

Passo 1

Isso aí é uma EDO separável. A gente faz o seguinte:

d y = (1)/(25 + 9 t^2) d t

E aí pra resolver a gente integra os dois lados:

int d y = int (1)/(25 + 9 t^2) d t

Bom, essa do lado direto vai ser y mesmo né, a gente precisa integrar o outro lado então...

Passo 2

Vamos fazer essa aqui:

int (1)/(25 + 9 t^2) d t

Isso aqui é integral de arco tangente. Nesse caso aqui fica assim:

(1)/(15) a r c t g ((3 x)/(5)) + C

Passo 3

Vamos achar o valor desse C aí agora. O enunciado deu pra gente que y (- (5)/(3)) = (pi)/(30) . Vamos jogar isso ali agora que a gente já mata esse C :

(1)/(15) a r c t g (- 1) + C = (pi)/(30)

= (1)/(15) (- (pi)/(4)) + C = (pi)/(30)

C = (pi)/(30) + (pi)/(60)

C = (pi)/(20)

Nosso resultado então fica:

y = (1)/(15) a r c t g ((3 x)/(5)) + (pi)/(20)

Prontinho!

Resposta

y = (1)/(15) a r c t g ((3 x)/(5)) + (pi)/(20)

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