Resolva os problemas de valor inicial:

dy/dt = -e^(2t), y(0) = 6

Passo 1

Isso aí é uma EDO separável. A gente faz o seguinte:

d y =   - e 2 t d t

E aí pra resolver a gente integra os dois lados:

∫ d y = ∫ - e 2 t d t

Bom, essa do lado direto vai ser y mesmo né, a gente precisa integrar o outro lado então...

Passo 2

Vamos fazer essa aqui:

∫ - e 2 t d t

Vamos fazer u = 2 t , teremos d u = 2   d t . Aí substituindo a gente fica com:

1 2 ∫ - e u d u

Aí integrando:

- 1 2 e u + C

A gente volta pra variável t :

- 1 2 e 2 t + C

Passo 3

Vamos achar o valor desse C aí agora. O enunciado deu pra gente que y 0 = 6 . Vamos jogar isso ali agora que a gente já mata esse C :

- 1 2 e 2 ⋅ 0 + C = 6

- 1 2 + C = 6

C = 6 + 1 2

C = 13 2

Nosso resultado então ficou:

y =   - 1 2 e 2 t + 13 2

Prontinho!

Resposta

y =   - 1 2 e 2 t + 13 2

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