Enunciado

Nos exercícios de 1 a 31, calcule a integral indefinida.

3. ∫ d x x 3 - x

Passo 1

Neste tipo de questão não há muito o que tirar de informação do enunciado, apenas utilizar as técnicas de integração desenvolvidas até o momento, utilizar também algumas substituições especiais vistas ao longo desta seção bem como relações matemáticas básicas.

Passo 2

Sendo assim, a integral dada pode ser calculada como:

∫ d x x 3 - x

Fazendo z = x 3   t e m o s   q u e   z 3 = x   e   q u e   3 z 2 d z = d x . Substituindo isso na integral acima vem:

∫ d x x 3 - x = ∫ 3 z 2 d z z - z 3 = 3 ∫ z 1 - z 2 d z = - 3 2 l n 1 - z 2 + C = - 3 2 l n 1 - ( x 3 ) 2 + C

Resposta

∫ d x x 3 - x = - 3 2 l n 1 - ( x 3 ) 2 + C

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O matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) observou que a substituição t = t g x 2 converte qualquer função racional de s e nx e cos ⁡ x em uma função racional ordinária de t .a) Se t = t gx 2 ,
Use a substituição do exercício 57 para transformar o integrando em uma função racional de t e então calcule a integral. ∫ 0 π 2 s e n2 x 2 + cos ⁡ xd x
Usando a substituição z = tan ⁡ 1 2 x , prove que ∫ c o s s e cxd x = ln ⁡ 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x + C
Calcule a integral definida. ∫ 0 1 x 1 + x 3d x
Calcule ∫ d x x - x por dois métodos: (a) tomando x = z 2 ; (b) escrevendo x - x = x x - 1 e tomando u = x - 1 .