Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas) - Capítulo 4.8 - Ex. 109

Ver Outros Exercícios
desse livro

Resolva os problemas de valor inicial nos Exercícios 91-112.

Passo 1

Como o enunciado nos dá uma equação diferencial de 3ª ordem, deve-se fazer a integral da mesma três vezes e, no resultado de cada uma delas, aplicar os valores de condição inicial para encontrar o valor das constantes que irão surgir no resultado de cada integral indefinida.

O resultado da terceira integral irá nos dar a função primitiva da derivada de terceira ordem e na qual podemos substituir os últimos valores da condição inicial a fim de encontrarmos a equação desejada.

Passo 2

Passo 3

Portanto,

d 3 y d x 3 = 6

d 2 y d x 2 = ∫ 6 d x = 6 x + C 1

Passo 4

O exercício nos dá uma condição inicial na qual diz que y ' ' = - 8 quando x = 0 . Com esses valores é possível descobrir o valor da primeira constante e, assim, descobrir a equação que representa a segunda derivada. Logo:

d 2 y d x 2 = 6 x + C 1

- 8 =   6 0 + C 1 ∴   C 1 = - 8

Então, a equação da segunda derivada é y ' ' = 6 x - 8 .

Passo 5

Em seguida, deve-se integrar novamente para encontrar a equação da primeira derivada:

d 2 y d x 2 = 6 x - 8

d y d x = ∫ 6 x - 8 d x = 3 x 2 - 8 x + C 2

Passo 6

O exercício nos dá uma segunda condição inicial na qual diz que y ' = 0 quando x = 0 . Com esses valores é possível descobrir o valor da segunda constante e, assim, saber qual é a equação da primeira derivada. Logo:

d y d x = 3 x 2 - 8 x + C 2

0 = 3 0 2 - 8 0 + C 2 ∴ C 2   = 0

Então, a equação da primeira derivada é y ' = 3 x 2 - 8 x .

Passo 7

E, mais uma vez, deve-se fazer a integral:

d y d x = 3 x 2 - 8 x

y = ∫ 3 x 2 - 8 x d x = x 3 - 4 x ² + C 3

Passo 8

Neste passo, aplicamos a última condição inicial na qual diz que y = 5 quando x = 0 . Com esses valores é possível descobrir o valor da terceira constante e, assim, saber qual é a equação final. Logo:

y = x 3 - 4 x ² + C 3

5 = 0 3 - 4 0 ² + C 3 ∴ C 3   = 5

Então, a equação desejada é y = x 3 - 4 x ² + 5 .

Resposta

A solução do P.V.I. é y = x 3 - 4 x ² + 5 .

Exercícios de Livros Relacionados

Calcules) ∫ 5 e 7 x d x

Ver Mais

Uma partícula desloca-se sobre o eixo 0 x , de modo que em cada instan

Ver Mais

Uma partícula desloca-se sobre o eixo x com função de posição x = x t

Ver Mais

5.Determine a função y = y x ,   x ∈ R , tal quef) d y d x = e -

Ver Mais

5. Determine a função y = y x ,   x ∈ R , tal quee) d y d x = 1 2

Ver Mais