Enunciado

Resolva os problemas de valor inicial nos Exercícios 91-112.

Passo 1

O primeiro passo que pode ser feito para encontrar a solução do P.V.I. é integrar a expressão diferencial que o enunciado fornece.

Em seguida, deve aplicar as condições iniciais para a primeira derivada a fim de encontrar o valor da primeira constante que irá aparecer.

Após isso, deve-se integrar novamente a equação, cujo resultado da integral irá nos dar a função primitiva da derivada de segunda ordem e na qual podemos substituir os outros valores da condição inicial a fim de encontrarmos a equação desejada.

Passo 2

Portanto,

d 2 r d t 2 = 2 t 3

d r d t = ∫ 2 t 3 d t = - 1 t 2 + C 1

Passo 3

O exercício nos dá uma condição inicial na qual diz que r ' = 1 quando t = 1 . Com esses valores é possível descobrir o valor da primeira constante e, assim, descobrir a equação que representa a primeira derivada. Logo:

d r d t = - 1 t 2 + C 1

1 = - 1 1 2 + C 1   ∴   C 1 = 2

Então, a equação da primeira derivada é r ' = - 1 t 2 + 2 .

Passo 4

Em seguida, deve-se integrar novamente para encontrar a equação da função primitiva:

d r = - 1 t 2 + 2 d t

r = ∫ - 1 t 2 + 2 d t = 1 t + 2 t + C 2

Passo 5

O exercício nos dá outra condição inicial na qual diz que r = 1 quando t = 1 . Com esses valores é possível descobrir o valor da segunda constante e, assim, saber qual é a equação final. Logo:

r = 1 t + 2 t + C 2

1 = 1 1 + 2 1 + C 2 ∴ C 2   = - 2

Então, a equação correta é r = 1 t + 2 t - 2   .

Resposta

A solução do P.V.I. é

r = 1 t + 2 t - 2

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