Resolva as seguintes equações para x pertence R :

a) sen^4(x) + cos^4(x) = 5/8

b) sen^6 x + cos^6 x = 5/8

c) sen^4(x) + cos^4(x) = 1/2

d) sen^6(x/2) + cos^6(x/2) = 7 / 16

e) sen^3(x) + cos^3(x) = 1

Passo 1

Opa galerinha, tudo certo?

Para resolver essa equação vamos relembrar algumas informações importante.

É necessário lembrar do ciclo trigonométrico, como podemos ver abaixo.

E da relação fundamental da trigonometria:

sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1

Simbora! Fazer a questão!

Passo 2

Na letra B temos outro tipo de equação. Dessa vez iremos usar outro método para resolvê-la.

sen 6 ⁡ x + cos 6 ⁡ x =   5 / 8

De acordo com a teoria encontrada no livro:

sen 6 ⁡ x + cos 6 ⁡ x =   sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x - sen 4 ⁡ x - sen 2 ⁡ x ∙ cos 2 ⁡ x + cos 4 ⁡ x

sen 6 ⁡ x + cos 6 ⁡ x =   sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x sen 4 ⁡ x - sen 2 ⁡ x ∙ cos 2 ⁡ x + cos 4 ⁡ x

sen 6 ⁡ x + cos 6 ⁡ x =   1 ∙ sen 4 ⁡ x + cos 4 ⁡ x - sen 2 ⁡ x ∙ cos 2 ⁡ x

sen 6 ⁡ x + cos 6 ⁡ x =   ( sen 4 ⁡ x + cos 4 ⁡ x ) - sen 2 ⁡ x ∙ cos 2 ⁡ x

Lembrando da letra A, onde descobrimos um termo equivalente a soma da quarta potência do seno e cosseno.

sen 6 ⁡ x + cos 6 ⁡ x =   1 - sen 2 ⁡ 2 x 2 - sen 2 ⁡ x ∙ cos 2 ⁡ x

Para substituir esse produto quadrado de seno e cosseno iremos utilizar mesma lógica desenvolvida na letra A.

sen 6 ⁡ x + cos 6 ⁡ x =   1 - sen 2 ⁡ 2 x 2 - sen 2 ⁡ 2 x 4

sen 6 ⁡ x + cos 6 ⁡ x =   1 - 3 ∙ sen 2 ⁡ 2 x 4

Ok! Agora vamos substituir na equação da letra B.

Passo 3

sen 6 ⁡ x + cos 6 ⁡ x =   5 / 8

  1 - 3 ∙ sen 2 ⁡ 2 x 4 = 5 8

3 ∙ sen 2 ⁡ 2 x 4 = 1 - 5 8

3 ∙ sen 2 ⁡ 2 x 4 = 8 - 5 8

sen 2 ⁡ 2 x = 1 2

sen ⁡ 2 x = ± 1 2

Racionalizando, obtemos:

sen ⁡ 2 x = ± 2 2

Então, temos duas possibilidades:

Primeira para um seno positivo.

sen ⁡ 2 x = + 2 2

Esse valor de seno corresponde a de um ângulo notável, no caso, 45 graus.

sen ⁡ 2 x = + 2 2 → 2 x = π 4 → x = π 8 + k π

Segunda para um seno negativo.

sen ⁡ 2 x = - 2 2

sen ⁡ 2 x = - 2 2 → 2 x = 5 π 4 → x = 5 π 8 + k π

Simbora pra letra C!

Resposta

a )   x = π 8 + k π ; x = 5 π 8 + k π

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