Determine x tal que sen(3x) + cos(2x) - sen(x) = 1

Passo 1

Opa galerinha, tudo certo?

Vamos resolver essa equação utilizando a subtração senos e de cossenos e uma relação do cosseno da subtração. Primeiro é importante lembrarmos desses artifícios matemáticos.

A subtração de senos e de cossenos:

sen ⁡ w - sen ⁡ v = 2 ∙ cos ⁡ w + v 2 ∙ sen ⁡ w - v 2

cos ⁡ w - cos ⁡ v = - 2 ∙ sen ⁡ w + v 2 ∙ sen ⁡ w - v 2

E que:

cos ⁡ π 2 - x = cos ⁡ π 2 ∙ cos ⁡ x + sen ⁡ π 2 ∙ sen ⁡ x = sen ⁡ x

É importante também lembrar do ciclo trigonométrico, como podemos ver abaixo.

Simbora!

Passo 2

sin ⁡ 3 x + cos ⁡ 2 x - sen ⁡ x = 1

sen ⁡ 3 x - sen ⁡ x + cos ⁡ 2 x - 1 = 0

s e n ⁡ 3 x - sen ⁡ x + ( cos ⁡ 2 x - cos ⁡ 0 ) = 0

Utilizando a soma dos senos, onde: w = 3 x   v = x . E vamos aplicar também a subtração dos cossenos, onde: w = 2 x   v = 0

Assim, a equação fica como:

2 ∙ sen ⁡ x ∙ cos ⁡ 2 x - 2 ∙ sen 2 ⁡ x = 0

Colocando o seno em evidência:

2 ∙ sen ⁡ x ( cos ⁡ 2 x - sen ⁡ x ) = 0

Ok! Aqui temos duas opções, um dos termos do produto é zero para que a igualdade seja verdadeira. Assim:

2 ∙ sen ⁡ x = 0 → sin ⁡ x = 0 → x = k π

Ou

cos ⁡ 2 x - sen ⁡ x = 0 → cos ⁡ 2 x = sen ⁡ x

A carta na manga aqui é utilizar a seguinte substituição:

sen ⁡ x = cos ⁡ π 2 - x

Assim:

cos ⁡ 2 x = sen ⁡ x

cos ⁡ 2 x = cos ⁡ π 2 - x

2 x = π 2 - x + 2 k π  

x = π 6 + 2 k π 3  

Resposta

x = π 6 + 2 k π 3

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