Enunciado

Prove que t g 81 ° - t g 63 ° - t g 27 ° + t g 9 ° = 4

Passo 1

Então galera, a ideia nesse tipo de questão é reorganizar a expressão pra usar uma fórmula de soma e diferença de tangentes. t g p + t g q = (s e n (p + q))/(c o s c o s p * c o s c o s q)

Podemos reescrever nossa expressão da seguinte forma:

(t g 81 ° + t g 9 °) - ( t g 63 ° + t g 27 ° )

A partir daí, conseguimos usar a fórmula da soma das tangentes, ficando com:

t g 81 ° + t g 9 ° = (s e n (81 ° + 9 °))/(c o s c o s 81 ° * c o s c o s 9 °) = (s e n 90 °)/(c o s c o s 81 ° * c o s c o s 9 °)

- (t g 63 ° + t g 27 °) = - (s e n (63 ° + 27 °))/(c o s c o s 63 ° * c o s c o s 27 °) = - (s e n (90 °))/(c o s c o s 63 ° * c o s c o s 27 °)

No final dessa etapa estamos com: (t g 81 ° + t g 9 °) - (t g 63 ° + t g 27 °) = (s e n 90 °)/(c o s c o s 81 ° * c o s c o s 9 °) - (s e n (90 °))/(c o s c o s 63 ° * c o s c o s 27 °)

Passo 2

O próximo passo vai ser reescrever os produtos dos denominadores das frações, lembrando que:

c o s c o s p + c o s c o s q = 2 * c o s c o s (p + q)/(2) * c o s c o s (p - q)/(2)

(c o s c o s p + c o s c o s q)/(2) = c o s c o s (p + q)/(2) * c o s c o s (p - q)/(2)

Para definir quem será o “p” e o “q” no primeiro denominador, vamos resolver o sistema:

{ (p + q)/(2) = 81 (p - q)/(2) = 9

Resultando em p = 90 ° e q = 72 ° .

No segundo denominador vamos realizar o mesmo processo:

{ (p + q)/(2) = 63 (p - q)/(2) = 27

Resultando em p = 90 ° e q = 36 ° .Substituindo tudo isso na expressão vamos ficar com:

(s e n 90 °)/((c o s c o s 90 ° + c o s c o s 72 °)/(2)) - (s e n (90 °))/((c o s c o s 90 ° + c o s c o s 36 °)/(2)) = (2 * s e n 90 °)/(c o s c o s 90 ° + c o s c o s 72 °) - (2 * s e n 90 °)/(c o s c o s 90 ° + c o s c o s 36 °)

Passo 3

Agora vamos relembrar alguns conceitos de trigonometria. Primeiro vamos lembrar que s e n 90 ° = 1 e que c o s c o s 90 ° = 0 . Substituindo ficamos com:

(2 * s e n 90 °)/(c o s c o s 90 ° + c o s c o s 72 °) - (2 * s e n 90 °)/(c o s c o s 90 ° + c o s c o s 36 °) = (2)/(c o s c o s 72 °) - (2)/(c o s c o s 36 °)

Vamos lembrar também que c o s c o s a = s e n ( 90 - a ) . Ou seja, c o s c o s 72 ° = s e n 18 ° e c o s c o s 36 ° = s e n 54 ° . Substituindo, vamos escrever:

(2)/(c o s c o s 72 °) - (2)/(c o s c o s 36 °) = (2)/(s e n 18 °) - (2)/(s e n 54 °)

Passo 4

Nesse momento vamos simplificar algebricamente a expressão:

(2)/(s e n 18 °) - (2)/(s e n 54 °) = 2 * (s e n 54 ° - s e n 18 °)/(s e n 18 ° * s e n 54 °)

Agora, vamos transformar esse numerador em produto usando a fórmula:

s e n p - s e n q = 2 * s e n (p - q)/(2) * c o s c o s (p + q)/(2)

Vamos escrever:

2 * (s e n 54 ° - s e n 18 °)/(s e n 18 ° * s e n 54 °) = 2 * (2 * s e n 18 ° * c o s c o s 36 °)/(s e n 18 ° * s e n 54 °)

Lembrando que c o s c o s a = s e n (90 - a) -> c o s c o s 36 ° = s e n 54 ° , podemos simplificar a expressão em:

2 * (2 * s e n 18 ° * c o s c o s 36 °)/(s e n 18 ° * s e n 54 °) = 2 * 2 * 1 = 4

Resposta

Resposta nos passos

Exercícios de Livros Relacionados

Para cada diagrama de dispersão, decida qual tipo de função você escolheria como um modelo para os dados. Explique sua escolha
Para que valores t o sistema {[[x + y = pi],[sen x + sen y = log_10 t^2]]) admite solução?
Obtenha as soluções das equações abaixo.a) cos 3 x - cos x = 0 b) cos 5 x = cos (x - pi // 3)
Dado o sistema sen ⁡ x + y + sen ⁡ x - y = 2 sen ⁡ x + cos ⁡ y = 2 a) mostre que o par x 0 , y 0 , com x 0 = 2 π e y 0 = π / 2 , não é solução do sistema;b) resolva o sistema, determinando todas as so