Enunciado

Nos problemas 49 e 50, encontre uma solução para a equação diferencial dada que passe pelos pontos indicados.

49. d y d x - y 2 = - 9

a) (0, 0)

Passo 1

Então pessoal, basicamente o que devemos fazer nessa questão é resolver a equação diferencial e depois aplicar o ponto indicado para encontrarmos a constante, assim como a gente fazia lá no estudo de funções, lembram? Então, a ideia é exatamente a mesma!

Outro adendo importante é que como estamos estudando o método de separação de variáveis para resolver equações diferenciais, então iremos resolver todas as EDO’s assim, beleza? Show! Vamo que vamo!

Passo 2

A equação que nos foi dada é a seguinte:

d y d x - y 2 = - 9

Primeiramente temos que separar tudo que tem   x de um lado e tudo que tem y de outro. Fazendo isso, teremos:

d y d x = - 9 + y 2

d y y 2 - 9 = d x

Agora que separamos as variáveis, o que precisamos fazer é integrar ambos os lados da equação:

∫ d y y 2 - 9 = ∫ d x

E então vamos para o próximo passo, que é, claro, resolver essas integrais. Segura na mão de Deus e vem!

Passo 3

A integral da esquerda já tem um resultado bem definido e tabelado, pessoal! Conferindo uma tabela de integrais, encontraremos a seguinte fórmula:

∫ d u u 2 - a 2 = 1 2 a ln ⁡ u - a u + a + c

No nosso caso, temos que u = y e a = 3 , logo:

∫ d y y 2 - 9 = 1 6 ln ⁡ y - 3 y + 3 + c 1

Já a integral da direita é bem tranquila de resolver, já que o resultado também é manjado, saca só:

∫ d x = x + c 2

Igualando os resultados, teremos

1 6 ln ⁡ y - 3 y + 3 + c 1 = x + c 2

Juntando c 1 com c 2 teremos uma terceira constante que vamos chamar de c 3 , ok? Logo, nosso resultado será:

1 6 ln ⁡ y - 3 y + 3 = x + c 3

Passo 4

Agora que resolvemos a nossa equação diferencial, precisamos aplicar o ponto dado, que foi 0 ,   0 . Aplicando, teremos:

1 6 ln ⁡ 0 - 3 0 + 3 = 0 + c 3

1 6 ln ⁡ - 1 = c 3

1 6 ln ⁡ 1 = c 3

∴ c 3 = 0

Substituindo o valor da constante que encontramos, obteremos como resultado:

1 6 ln ⁡ y - 3 y + 3 = x

Simplificando a resposta:

ln ⁡ y - 3 y + 3 = 6 x

y - 3 y + 3 = e 6 x ⇒ y = 3 1 - e 6 x 1 + e 6 x

E essa é a nossa resposta! 😉

Resposta

a) y = 3 1 - e 6 x 1 + e 6 x

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