Resolvaxyy' = 3y^2 + x^2 sujeito a y(-1) = 2.

Passo 1

Opa! Tudo beleza?

Bora resolver essa equação aí?

x y y ' = 3 y 2 + x 2

Bom, se a gente escrever assim:

x y d y d x = 3 y 2 + x 2

x y   d y = 3 y 2 + x 2 d x

x y   d y - 3 y 2 + x 2 d x = 0

Temos uma equação homogênea!

Agora a gente tem que resolver isso, vem comigo!

Passo 2

Pra resolver esse tipo de equação, a gente faz aquele esquema de substituição. No nosso caso, a parte com d y é mais simples, então a gente vai fazer y = v x .

Derivando a gente tem:

d y = v   d x + x   d v

Aí a gente substitui isso na nossa EDO:

x y   d y - 3 y 2 + x 2 d x = 0

x 2 v   v   d x + x   d v - 3 x 2 v 2 + x 2 d x = 0

x 2 v 2   d x + x 3 v   d v - 3 x 2 v 2   d x - x 2 d x = 0

v 2 d x + x v   d v - 3 v 2   d x - d x = 0

d x - 2 v 2 - 1 = d v ( - x v )

- d x x = v - 2 v 2 - 1   d v

Show! Chegamos a uma EDO separável (já separada, na verdade)...

Passo 3

Agora a gente vai integrar dos dois lados pra resolver...

∫ v - 2 v 2 - 1   d v = ∫ - d x x

- 1 4 ln ⁡ ( 2 u 2 + 1 ) =   - ln ⁡ x + C

1 4 ln ⁡ ( 2 u 2 + 1 ) - ln ⁡ x = C

Como y = v x , temos v = y x :

1 4 ln ⁡ 2 y 2 x 2 + 1 - ln ⁡ x = C

ln ⁡ 2 y 2 x 2 + 1 1 4 x = C

2 y 2 x 2 + 1 1 4 x = c 1

2 y 2 x 2 + 1 = c 1 x 4

2 y 2 + x 2 = c 1 x 6

Passo 4

Agora vamos usar o nosso valor inicial y - 1 = 2 para descobrir o c 1 :

2 y 2 + x 2 = c 1 x 6

2 2 2 + - 1 2 = c 1 - 1 6

8 + 1 = c 1

c 1 = 9

Então a solução do nosso PVI é:

2 y 2 + x 2 = 9 x 6

Resposta

2 y 2 + x 2 = 9 x 6

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