Resolva y(ln(x) - ln(y))dx = (xln(x) - xln(y) - y)dy

Passo 1

Opa! Tudo beleza?

Bora resolver essa equação aí?

y ( ln ⁡ x - ln ⁡ y ) d x = x ln ⁡ x - x ln ⁡ y - y d y .

Bom, se a gente escrever assim:

y   ln ⁡ x y d x - x ln ⁡ x y - y d y = 0

Temos uma equação homogênea!

Agora a gente tem que lembrar como resolve isso, vem comigo!

Passo 2

Pra resolver esse tipo de equação, a gente faz aquele esquema de substituição. No nosso caso, a parte com d x é mais simples, então a gente vai fazer x = u y .

Derivando a gente tem:

d x = u   d y + y   d u

Aí a gente substitui isso na nossa EDO:

y ln ⁡ u u   d y + y   d u - u y ln ⁡ u - y d y = 0

u y l n   u   d y + y 2 ln ⁡ u d u - u y ln ⁡ u   d y + y   d y = 0

y 2 ln ⁡ u   d u = - y   d y

y ln ⁡ u   d u =   - d y

ln ⁡ u   d u =   - d y y

Show! Chegamos a uma EDO separável (já separada, na verdade)...

Passo 3

Agora a gente vai integrar dos dois lados pra resolver...

∫ ln ⁡ u   d u = ∫ - d y y

u l n   u - u =   - ln ⁡ y + C

u ln ⁡ u - u + ln ⁡ y = C

Como x = u y , temos u = x y :

x y ln ⁡ x y - x y + ln ⁡ y = C

E pronto! Equação resolvida! 😉

Resposta

x y ln ⁡ x y - x y + ln ⁡ y = C

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