Resolve a integral abaixo:

24 –

∫ 0 π 1 - c o s ⁡ ( 2 x ) d x

Passo 1

Primeiramente é relembrar da identidade trigonométrica de:

cos ⁡ 2 x = 1 - 2 s e n 2 x

Substituindo na integral temos:

∫ 0 π 1 - ( 1 - 2 s e n 2 x ) d x

Dado a indentidade trigonométrica:

s e n 2 x = 1 - cos 2 ⁡ x

Substituindo na integral:

∫ 0 π 1 - ( 1 - 2 1 - cos 2 ⁡ x ) d x

Simplificaremos resolvendo os termos alguns termos, verifique:

∫ 0 π 2 1 - cos 2 ⁡ x ) d x =   ∫ 0 π 2 * 1 - cos 2 ⁡ x d x = 2 ∫ 0 π 1 - cos 2 ⁡ x d x

Passo 2

Como já mostrado s e n 2 x = 1 - cos 2 ⁡ x vamos substituir na expressão:

2 ∫ 0 π s e n 2 x d x

Simplificando a expressão com o radical:

2   ∫ 0 π s e n 2 x 2   d x = 2   ∫ 0 π s e n   x   d x

Sendo:

∫ s e n   x   d x =   - cos ⁡ x

Resolvendo, temos:

2   - cos ⁡ x 0 π

Passo 3

2   - cos ⁡ x 0 π

Realizando os limites de integração:

2 - cos ⁡ π - - cos ⁡ 0

Dado: cos ⁡ π = - 1   e cos ⁡ 0 = 1

2 - - 1 + 1 = 2 1 + 1 = 2 2 = 2 2

Resposta

2 2

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