Resolve a integral abaixo:

45 –

∫ 4 tg 3 ⁡ x

Passo 1

4 ∫ t g 3 x   d x

Expandindo a integral:

4 ∫ t g 2 x   t g   x

Dado: t g 2 x =   - 1 +   sec 2 ⁡ x

4 ∫ ( - 1 + sec 2 ⁡ x )   t g   x   d x = 4 ∫ - t g   x + sec 2 ⁡ x   t g   x d x

Separando a integral:

4 ∫ - t g   x   d x +   4 ∫ sec 2 ⁡ x   t g   x   d x

- 4 ∫ t g   x   d x + 4   ∫ sec 2 ⁡ x   t g   x   d x

Passo 2

Resolvendo:

∫ t g   x =   - ln ⁡ cos ⁡ x

- 4 ⋅ - ln ⁡ cos ⁡ x + 4 ∫ sec 2 ⁡ x   t g   x   x

Resolvendo a integral:

∫ sec 2 ⁡ x   t g   x   x

Utilizando o método de substituição udu:

u = sec 2 ⁡ x

d u = 2 sec 2 ⁡ x t g   x

d x = 1 d u = 1 2 sec 2 ⁡ x t g   x

∫ sec 2 ⁡ x ⋅ t g   x ⋅ 1 2 sec 2 ⁡ x   t g   x   d u =   ∫ sec 2 ⁡ x   t g   x 2 sec 2 ⁡ x   t g   x   d u =   ∫ 1 2 d u = 1 2 u + c

Subsittuindo na expressão:

- 4 ⋅ - ln ⁡ cos ⁡ x + 4 ⋅ 1 2 u

Para u = sec 2 ⁡ x

- 4 ⋅ - ln ⁡ cos ⁡ x + 4 ⋅ 1 2 sec 2 ⁡ x + c

Passo 3

Desta forma teremos:

4 ln ⁡ cos ⁡ x + 4 2 sec 2 ⁡ x + c = 2 sec 2 ⁡ x + 4 ln ⁡ cos ⁡ ( x ) + c

Resposta

1 5 t g 5 x + 2 3 t g 3 x + t g   x + c

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