Enunciado

3.

(a) Resolvendo a Eq. (12) numericamente, mostre que a parte real das raízes complexas muda de sinal quando r   ≅   24,737 .

(b) Mostre que um polinômio de grau três da forma x 3 + A x 2 + B x + C tem uma raiz real e duas raízes imaginárias puras só se A B   =   C .

(c) Aplicando o resultado do item (b) à Eq. (12), mostre que a parte real das raízes complexas muda de sinal quando r   =   470 / 1 9.

Passo 1

L e t r a   A :

Assim como fizemos no exercício anterior, como o problema nos permite usar uma ferramenta computacional, vamos utilizar aqui então o WOLFRAMALPHA para resolver a nossa equação 12:

3 λ 3 + 41 λ 2 + 8 r + 10 λ + 160 r - 1 = 0

A equação que nos dá os autovalores de todo o nosso sistema 3x3 até aqui estudado!

Para mostrar que de fato a parte real muda de valor em   r   ≅   24,737 , utilizemos dois valore de r : r = 24,738 e r = 24,736 , um acima e outro abaixo, saca? Com esses valores vamos substituir na equação de λ e depois jogar no WOLFRAMALPHA e dar enter pra vermos qual é a resposta gerada!

Vamos nessa?

Primeiro substituindo r = 24,738 ...

3 λ 3 + 41 λ 2 + 8 r + 10 λ + 160 r - 1 = 0 →

3 λ 3 + 41 λ 2 + 277.907 λ + 3798.08 = 0

As duas soluções complexas foram:

λ = 0,0000105379 ± 9,62476   i

Substituindo agora r = 24,736 ...

3 λ 3 + 41 λ 2 + 8 r + 10 λ + 160 r - 1 = 0 →

3 λ 3 + 41 λ 2 + 277.888 λ + 3797.76 = 0 →

Dessa vez, os valores imaginários foram:

λ = - 0,0000254508 ± 9.62438   i

Provando de fato que o sinal da parte real muda em r   ≅   24,737 .

Passo 2

L e t r a   B :

Para provar isso, veja que podemos trocar C por A B na equação:

x 3 + A x 2 + B x + C = 0     →

x 3 + A x 2 + B x + A B = 0   →

Com C = A B , podemos provar que - A é solução da nossa equação:

- A 3 + A - A 2 - B A + A B = 0   →

- A 3 + A 3 - B A + A B = 0   →

0 = 0

Fatorando então usando o método de Briot Ruffini:

Onde - A é a solução da equação. Aplicando o método, ou seja, abaixando 1 depois multiplicando - A por ele e somando o próximo e assim por diante...

Isso significa que outra equação que vai surgir para resolver a equação é:

x 2 + 0 x + B = 0

O que significa que poderemos fatorar a equação...

x 3 + A x 2 + B x + A B = 0   →

Assim:

x + A x 2 + B = 0  

A solução dessa equação quadrática:

x 2 + B = 0   →

x = ± - B

De fato é um número imaginário puro considerando B > 0 .

Agora, perceba que essa fatoração em:

x + A x 2 + B = 0  

Só foi possível por considerar C = A B . Caso, C seja qualquer outro valor, - A não seria solução provocando um valor diferente de 0 no termo de x nessa expressão:

x 2 + b x + c

Então necessariamente surgirá um fator misto na fatoração:

x 2 + b x + c

Essa b na solução por báskara surge com um número real aqui em negrito:

x = - b 2 ± b 2 - 4 c 2

O que impedirá a existência de um imaginário puro, saca?

Passo 3

L e t r a   C :

Vejamos, a nossa equação cúbica é:

3 λ 3 + 41 λ 2 + 8 r + 10 λ + 160 r - 1 = 0   →

Dividindo todo mundo por 3 :

λ 3 + 41 3 λ 2 + 8 3 r + 10 λ + 160 3 r - 1 = 0

Então, podemos falar agora que...

A = 41 3 ,         B = 8 3 r + 10         e         C = 160 3 r - 1

Como vimos, a forma de termos um imaginário puro é se...

A B = C

Então...

41 3 ⋅ 8 3 r + 10 = 160 3 r - 1   →

Multiplicando todo mundo por 9 / 8 ...

41 ⋅ r + 10 = 60 r - 1   →

41 r + 410 = 60 r - 60   →

- 60 r + 41 r = - 410 - 60   →

- 19 r = - 470

r = 470 19

Então de fato para qualquer outro valor de r , não teremos imaginário puro. O que prova que pra cima de r = 470 19 , vai existir parte real e ela vai ser positiva, como já vimos na letra A. E pra baixo de r = 470 19 , ela vai ser negativa.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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