Enunciado

4. Use a função de Liapunov V x ,   y ,   z = x 2 + σ y 2 + σ z 2 para mostrar que a origem é um ponto crítico global assintoticamente estável para as equações de Lorenz (1) se r   <   1 .

Passo 1

V x ,   y ,   z = x 2 + σ y 2 + σ z 2

Bem, pelo teorema 9.6 . 1 , se queremos provar que a origem é assintoticamente estável, primeiro devemos provar que V é uma função definida positiva: maior que 0 sempre em dado conjuntinho D , perto da origem, mas igual a 0 na origem.

Repare que σ é maior que 0 , de acordo com a teoria:

σ > 0

Então de fato, V assume valores maiores que 0 sempre de menos na origem:

V x ,   y ,   z > 0         e           V 0 ,   0 ,   0 = 0

Ou seja, então ela é definida positiva.

Passo 2

Agora, consideremos a derivada:

V ˙ x ,   y ,   z = V x F + V y G + V z H

Onde F , G e H são da definição do nosso sistema comentado até agora no capítulo e nos exercícios:

x ' = σ - x + y y ' = r x - y - x z z ' = - b z + x y                 →               x ' = F y ' = G z ' = H

V ˙ x ,   y ,   z = V x F + V y G + V z H   →

V ˙ x ,   y ,   z = V x σ - x + y + V y r x - y - x z + V z - b z + x y

V ˙ x ,   y ,   z tem que ser definida negativa, isto é, pelo menos para um conjuntinho D contendo a origem, ela é menor que 0 sempre, de menos na origem. Como V é definida por...

V x ,   y ,   z = x 2 + σ y 2 + σ z 2

Calculando as derivadas parciais...

V ˙ x ,   y ,   z = 2 x σ - x + y + 2 σ y r x - y - x z + 2 σ z - b z + x y →

V ˙ x ,   y ,   z = - 2 σ x 2 + 2 σ x y + 2 σ r x y - 2 σ y 2 - 2 σ y x z - 2 σ b z 2 + 2 σ y x z →

E simplificando...

V ˙ x ,   y ,   z = - 2 σ x 2 + 2 σ x y r + 1 - 2 σ y 2 - 2 σ b z 2 →

V ˙ x ,   y ,   z = - 2 σ x 2 + y 2 + b z 2 + 2 σ x y r + 1

Existe então um volumizinho D que está contido ao R 3 e que contém a origem...

D ⊂ R 3   |     0 ,   0 ,   0 ∈ D

De modo que V ˙ assuma apenas valores negativos em todo esse voluminho de menos na origem, afinal, devida ao fato de σ e b serem positivos e r < 1 , o valor de x 2 + y 2 + b z 2 será maior que x y r + 1 , pelo menos para alguns pequenos ao redor da origem:

- 2 σ x 2 + y 2 + b z 2 < - 2 σ x y r + 1

O que prova que...

- 2 σ x 2 + y 2 + b z 2 + 2 σ x y r + 1 < 0

Passo 3

CONCLUSÃO:

Pelo teorema 9.6 . 1 , se temos uma função de V (de Liapunov) definida positiva (positiva de menos na origem) em um conjunto D tal que a sua derivada V ˙ seja definida negativa (negativa de menos na origem), então o ponto crítico 0 ,   0 ,   0 de fato será assintoticamente estável, oq eu prova o nosso problema .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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