Enunciado

Para resolver os exercícios 16 e 17 , o aluno deve ter familiaridade com as equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes.

Um objeto com vetor posição σ t = x t , y t se move ao longo da parábola y = x 2 - 4 . Sabendo que a componente horizontal do vetor aceleração em cada instante t é - 4   x t , e que no instante t = 0 ele se encontra no ponto 0 , - 4 com vetor velocidade V 0 = 4,0 , pede-se:

b) Qual o tempo necessário para o objeto voltar ao ponto inicial 0 , - 4 ?

Passo 1

Show, olha, todas as questõs pedem pra gente o vetor posição. Então bora lá. Pra começar, veja que:

A t = σ ' ' t = x ' ' t , y ' ' t

Do enunciado que diz pra gente a componente horizontal do vetor aceleração, tiramos que:

x ' ' t = - 4   x t

x ' ' t + 4   x t = 0

E olha só! Uma EDO de 2ª ordem com coeficientes constantes! Pra acharmos a solução, escrevemos a equação característica:

r 2 + 4 = 0

r 2 = - 4

r 2 = 4 ∙ - 1

r = ± 2 ∙ - 1 = ± 2 i

r = 0 ± 2 i

Eita! Raizes complexas na equação característica! Sendo assim a solução vai ter essa cara:

x t = e α t C 1 cos ⁡ β t + C 2 sen ⁡ β t

Onde:

r = α ± β i

α = 0 β = 2

Logo:

x t = C 1 cos ⁡ 2 t + C 2 sen ⁡ 2 t

Agora falta determinar essas constantes, pra isso, temos, do enunciado:

x 0 = 0

C 1 cos ⁡ 0 + C 2 sen ⁡ 0 = 0

C 1 = 0

x t = C 2 sen ⁡ 2 t

Pra achar a outra constante, temos que usar a informação do enunciado:

V 0 = 4,0

Isso porque:

V t = σ ' ' t = x ' t , y ' t

E logo:

V 0 = x ' 0 , y ' 0 = 4,0

x ' 0 = 4

Derivando:

x t = C 2 sen ⁡ 2 t

x ' t = 2 C 2 cos ⁡ 2 t

x ' 0 = 2 C 2 cos ⁡ 0 = 4

2 C 2 = 4

C 2 = 2

Feshow a parametrização galera! Se temos:

x t = 2 sen ⁡ 2 t

y = x 2 - 4

Basta fazer:

y t = x t 2 - 4

y t = 2 sen ⁡ 2 t 2 - 4

y t = 4 sen 2 ⁡ 2 t - 4

E logo:

σ t = x t , y t

σ t = 2 sen ⁡ 2 t , 4 sen 2 ⁡ 2 t - 4

Passo 2

Bem, mas não queremos exatamente σ t nessa questão né. Mas precisamos dele pra responder. Pra achar qual o tempo necessário para o objeto voltar ao ponto inicial 0 , - 4 basta fazer:

2 sen ⁡ 2 t , 4 sen 2 ⁡ 2 t - 4 = 0 , - 4

2 sen ⁡ 2 t = 0

sen ⁡ 2 t = 0

De forma geral, temos que:

sin ⁡ π k = 0   ,     k = 0,1 , 2 , …

Igualando:

sen ⁡ 2 t = sen ⁡ π k

2 t = π k

t = π k 2 ,     k = 0,1 , 2 , …

Como k = 0 é o instante inicial, o próximo instante é pra k = 1 . Logo a resposta da letra b é:

t = π 2

Resposta

Ponto inicial 0 , - 4 alcançado novamente para t = π 2

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