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Um besouro parte do centro de um relógio muito grande, ao meio-dia, e percorre o ponteiro dos minutos a uma velocidade de 1 c m / s . Suponha que a origem das coordenadas está no centro do relógio. Dê as equações paramétricas para a posição do besouro em função do tempo. Esboce a curva descrita pelo besouro.

Passo 1

Beleza, saca só. Tem dois movimentos que temos que considerar:

  • O movimento do besouro pelo ponteiro
  • O movimento circular do ponteiro

Agora olha isso: uma circunferência pode ser parametrizada em relação ao parâmetro θ da seguinte forma, sendo R seu raio:

x θ = r cos ⁡ θ

y θ = r sen ⁡ θ

σ θ = r cos ⁡ θ , r sen ⁡ θ

Como nesse caso tanto o ângulo varia com o tempo (movimento do ponteiro) quanto a distância R até a origem varia com o tempo (movimento do besouro). Vamos ter:

θ = θ t

r = r t

Partiu achar essas expressões então

Passo 2

Pra começar, o ponteiro dos minutos demora 1 h pra dar uma volta completa. Sendo assim:

d θ d t = - 2 π   r a d / h

Onde o sinal de serve pra indicar que θ varia no sentido horário. Daí, tiramos:

θ t = - 2 π t + C

Como no instante inicial é meio dia, temos:

θ 0 = C = π 2

θ t = - 2 π t + π 2

Agora, veja bem, o besouro se afasta do centro a uma velocidade de 1   c m / s . Podemos ajustar essa velocidade para ficar com a mesma unidade de medida de tempo da velocidade angular e teremos:

1 c m s ∙ 60 s m i n ∙ 60 m i n h ∙ m 100   c m = 36   m / h

Galera, essa velocidade nada mais é do que:

d r d t = 36   m / h

r t = 36 t + K

Como o besouro ta no centro no instante inicial, temos:

r 0 = K = 0

r t = 36 t

E pra fechar com chave de ouro, temos a parametrização final:

σ t = 36 t cos ⁡ - 2 π t + π 2 , 36 t sen ⁡ - 2 π t + π 2

Só um detalhe importante. O ponteiro dos minutos tem um tamanho fixo R . Portanto, o parâmetro t não pode variar infinitamente se não o besouro sai do relógio! Sendo assim, temos um valor t m a x , dado por:

r t m a x = 36 ∙ t m a x = R

t m a x = R 36

Sendo assim:

σ t = 36 t cos ⁡ - 2 π t + π 2 , 36 t sen ⁡ - 2 π t + π 2 0 ≤ t ≤ R 36 σ t   e m   m e t r o s   ; t   e m   h o r a s

Passo 3

Um bom esboço pra trajetória seria:

Resposta

σ t = 36 t cos ⁡ - 2 π t + π 2 , 36 t sen ⁡ - 2 π t + π 2 0 ≤ t ≤ R 36 σ t   e m   m e t r o s   ; t   e m   h o r a s

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