Enunciado

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Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.

∫ x ln ⁡ 3 x d x

Passo 1

Utilizando a integração por partes, temos:

u = ln ⁡ 3 x ;

d u = 1 x d x ;

d v = x   d x ;

v = ∫ x   d x = x 2 2 .

∫ u d v = u ⋅ v - ∫ v d u

∫ u d v = ln ⁡ 3 x ⋅ x 2 2 - ∫ x 2 2 ⋅ 1 x d x

∫ u d v = ln ⁡ 3 x ⋅ x 2 2 - x 2 4 = x 2 2 ln ⁡ 3 x - 1 2

Como se trata de uma integral indefinida, não podemos esquecer da constante de indefinição:

x 2 2 ln ⁡ 3 x - 1 2 + c

Resposta

x 2 2 ln ⁡ 3 x - 1 2 + c

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