Enunciado

Responda às perguntas seguintes sobre as funções cujas derivadas são dadas:

  1. Quais são os pontos críticos
  2. Em quais intervalos f é crescente ou decrescente?
  3. Em quais pontos, se houver f assume máximos e mínimos locais?

f ' x = x 2 ( x - 1 ) x + 2

Passo 1

Primeiro, vamos igualar f ' ( x ) a zero para encontrar os pontos críticos:

x 2 ( x - 1 ) x + 2 = 0

x 2 x - 1 = 0  

x ' = 0

x ' ' = 1

No denominador, a função não está definida quando o denominador é igual a zero. Mas o denominador igualado a zero também é um ponto crítico:

x + 2 = 0

x = - 2

Pontos críticos: -2, 1 e 0

Passo 2

Agora, vamos fazer o estudo do sinal para verificar onde a função cresce e decresce. Beleza?

Logo,

f   é crescente no intervalo (-∞1, -2) U(1, +∞)

f   é decrescente no intervalo (-2,1)

Passo 3

No teste da primeira derivada para os extremos locais vale o seguinte:

Seja c um ponto crítico de uma função contínua f e essa função é derivável em qualquer ponto do intervalo que contenha c então:

  1. Se f ' passa de negativa a positiva em c, então f   possui mínimo local em c ;
  2. Se f ' passa de positiva a negativa em c, então f   possui máximo local em c ;
  3. Se f ' não muda de sinal em c, então f não tem extremo local em c

Assim, podemos afirmar que f assume valor mínimo local quando x = 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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