Enunciado

Determine os valores extremos (absoluto e local) das funções e onde ocorrem:

y = x x 2 + 1

Passo 1

Sabendo que um ponto crítico é um valor extremo de uma função, a derivada da função deve ser igual a 0, uma vez que representa a inclinação de uma reta tangente que passa por esse ponto.

Encontrados os pontos críticos, é necessário ter noções do gráfico da função para classificá-los como máximo ou mínimo, global ou local.

Passo 2

Derivando pela regra do quociente, teremos:

y ' = 1 x 2 + 1 - x × 2 x ( x 2 + 1 ) ² = x 2 + 1 - 2 x ² x 4 + 2 x 2 + 1 = 1 - x ² x 4 + 2 x 2 + 1

Passo 3

Agora calculando y ' = 0 :

1 - x 2 x 4 + 2 x 2 + 1 = 0

1 - x 2 = 0

x 2 = 1

x =   ± 1

Passo 4

Substituindo os pontos encontrados na função original:

y 1 = 1 1 2 + 1 = 1 2

y - 1 = - 1 ( - 1 ) 2 + 1 = - 1 2

Passo 5

Fazendo a análise do gráfico, teremos:

Resposta

M á x i m o   g l o b a l   e m   x = 1   e   M í n i m o   G l o b a l   e m   x = - 1

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