Enunciado

A reta r passa pelo ponto 1,2 e intercepta os eixos coordenados nos pontos A e B . Expresse a distância d , entre A e B , em função do coeficiente angular m . (Suponha m < 0 ).

Passo 1

Para saber a distância entre A e B devemos achar esses pontos, vamos então encontrar através da equação da reta r .

Como a reta intercepta os eixos coordenados nos pontos A e B temos que esses pontos são da forma a , 0 e 0 , b , temos então que achar esses valores, assim dá para calcular a distância entre eles.

Então vamos começar achando a equação da reta, que é a equação da reta que passa pelo ponto x 0 , y 0 e que tem coeficiente angular m :

y - y 0 = m x - x 0

Bora aplicar!

Passo 2

Vamos usar o ponto que já sabemos 1,2 separadamente com os pontos A e B e substituir na equação da reta:

Com B = 0 , b e x 0 , y 0 = 1,2 , então agora é substituir na fórmula:

y - y 0 = m x - x 0

b - 2 = m 0 - 1

b - 2 = - m

b = - m + 2

Com A = a , 0 e x 0 , y 0 = 1,2 :

y - y 0 = m x - x 0

0 - 2 = m a - 1

- 2 = a m - m

a m = - 2 + m

a = - 2 + m m

Pronto, temos que os pontos A e B são:

A = - 2 + m m , 0

B = 0 , - m + 2

Agora que sabemos esses pontos, podemos calcular a distância!

Passo 3

Então galerinha, essa é fórmula da distância entre dois x 1 , y 1 e x 2 , y 2 pontos é:

d = x 1 - x 0 2 + y 1 - x 0 2

A distância entre o ponto A = - 2 + m m , 0 e o ponto B = 0 , - m + 2 vai ser:

d = x 1 - x 0 2 + y 1 - x 0 2 = - 2 + m m - 0 2 + 0 - - m + 2 2

Agora vamos ajeitar essa equação,

d = - 2 + m m 2 + m - 2 2

d = - 2 + m 2 + m 2 m - 2 2 m 2

Podemos escrever ela assim,

d = m - 2 2 1 + m 2 m 2 = m - 2 m 1 + m 2

Como estamos supondo m < 0 podemos tirar o módulo da expressão:

d = m - 2 m 1 + m 2

Pronto, a distância d entre A e B em função do coeficiente angular m é:

d = m - 2 m 1 + m 2

Resposta

d = m - 2 m 1 + m 2

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