Enunciado

Um retângulo tem dois cantos inferiores no eixo x e dois cantos superiores na curva y = 16 - x 2 . Dentre todos esses retângulos, quais as dimensões daquele que tem maior área.

Passo 1

Uma imagem pode nos ajudar a raciocinar melhor sobre qual é a nossa situação:

Esse é um típico exercício de otimização. O cálculo diferencial é uma ferramenta que nos ajuda muito na resolução desses casos, tão recorrentes no dia a dia.

Nesse caso, queremos inserir um retângulo com a maior área possível dentro dessa parábola, de forma que o retângulo é limitado em um dos lados (a base) pelo eixo x .

Passo 2

Agora, temos que a área A do retângulo é dada pelo produto dos seus lados. Vamos assumir que x seja a base e y a altura. Teremos:

A = x ∙ y

Nisso, precisamos escrever a área desse retângulo em função apenas de uma variável. No caso, vamos buscar escrever apenas em função de x , pra termos uma A ( x ) .

Como correlacionamos x e y então?

Nesse caso, não tem muito mistério. Se temos o retângulo com a base, de tamanho x , limitada pelo eixo x , a altura desse retângulo vai corresponder obrigatoriamente a f ( x ) , que nada mais é que o valor de x aplicado na função que descreve a parábola!

Então, temos basicamente:

y = f x = 16 - x 2

Agora, reescrevemos a expressão pra área, substituindo essa expressão pra y . Vamos ter:

A ( x ) = x ∙ 16 - x 2

A x = 16 x - x 3

Passo 3

Agora temos uma função que descreve a nossa área. Por nossos conhecimentos de funções, A ( x ) é descrita por uma parábola cúbica, que vai ter um ponto de mínimo e um ponto de máximo! Você pode verificar isso em um programa de gráficos.

Queremos o ponto de máximo, que vai nos dar a maior área. E como fazer isso?

Se você ainda não sabe, ou talvez não lembre, mas um dos teoremas do Cálculo (Teorema de Fermat) diz que, nos pontos de máximo e de mínimo de uma função (quando possui) a derivada se anula.

Logo, podemos pegar A ( x ) , derivar e igualar a zero! Os valores de x que acharmos atribuídos a essa derivada nula vão ser os pontos de máximo e mínimo.

Passo 4

Derivando, temos:

A ' x = 16 - 3 x 2

Igualamos isso a zero:

16 - 3 x 2 = 0

3 x 2 = 16

x 2 = 16 3

x 1 = + 4 3 3 e x 2 = - 4 3 3

Determinados os pontos de derivada nula, pontos críticos, identificamos qual deles corresponde ao ponto de máximo pelo teste da derivada segunda.

Derivamos novamente a função e aplicamos os valores x 1 e x 2 . Sendo o valor positivo, temos ponto de mínimo; negativo, ponto de máximo, que é o qual nos interessa

Derivamos:

A ' ' x = - 6 x

Pra x 1 = + 4 3 3 :

A ' ' x 1 = A ' ' 4 3 3 = - 6 ∙ 4 3 3 = - 8 3

A ' ' x 2 = A ' ' - 4 3 3 = - 6 ∙ - 4 3 3 = 8 3

Assim, temos que x 1 = + 4 3 3 é nosso ponto de máximo.

Passo 5

Mas, o exercício não acaba aqui. Fomos solicitados pelas dimensões do retângulo.

Já sabemos que uma das dimensões é x = 4 3 3 , precisamos da outra dimensão, y .

Já temos a expressão pra área do retângulo. Vamos aplicar o valor de x que temos nela e determinar A ( x ) :

A x = 16 x - x 3

A x = 16 ∙ 4 3 3 - 4 3 3 3

A x = 64 3 3 - 64 ∙ 3 3 27

A x = 64 ∙ 9 3 27 - 64 ∙ 3 3 27

A x = 64 ∙ 6 3 27

∴ A x = 128 3 9

Tendo o valor da área, conseguimos determinar y pela equação A = x ∙ y . Temos:

A = x ∙ y

128 3 9 = 4 3 3 ∙ y

∴ y = 32 3

Resposta

São as dimensões x = 4 3 3 e y = 32 3

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