Enunciado

Seja g (x) = x e^x - e^x . Encontre f ( x ) , tal que f^' (x) = g ' ( x ) e f (1) = 2 .

Passo 1

Falou que f^' (x) = g ' ( x ) , a gente já lembra logo do Teorema da Diferença Constante, que diz que quando isso acontece, temos que:

f (x) - g (x) = k

Para qualquer valor de x .

Vamos usar essa informação para achar f ( x ) .

Passo 2

Reparar uma coisinha. Se f (x) - g (x) = k

Para todo x . Então, também vale para x = 1 :

f (1) - g (1) = k

Repara outra coisinha. Temos o valor de f ( 1 ) e podemos achar g ( 1 ) , por isso conseguimos achar k :

(2) - (e^1 - e^1) = k = 2

Agora é só voltar para f (x) - g (x) = k e substituir k = 2 e g (x) , para achar f ( x ) :

f (x) - (x e^x - e^x) = 2 :. f (x) = 2 + x e^x - e^x

Resposta

f (x) = 2 + x e^x - e^x

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