Enunciado

Sabe-se que f é contínua em 1 e que f 1 = 2 . Prove que existe r > 0 tal que para todo x ∈ D f

1 - r < x < 1 + r ⇒ 3 2 < f x < 5 2 .

Passo 1

Como f é contínua em 1 , a definição de continuidade nos diz que para todo ϵ positivo, existe um δ positivo de modo que para qualquer x contido no domínio de f , se satisfaz a afirmação:

1 - δ < x < 1 + δ   ⇒ 2 - ϵ < f x < 2 + ϵ

Como a afirmação é verdadeira para qualquer valor de ϵ > 0 , então no caso específico de tomarmos ϵ = 1 2 temos:

1 - δ < x < 1 + δ   ⇒ 2 - 1 2 < f x < 2 + 1 2

1 - δ < x < 1 + δ   ⇒ 3 2 < f x < 5 2

Passo 2

Se tomarmos r = δ , então temos:

1 - r < x < 1 + r   ⇒ 3 2 < f x < 5 2

Assim, provamos que 1 - r < x < 1 + r   ⇒ 3 2 < f x < 5 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce os gráficos de y = 1 - x 2 , y = cos ⁡ x e y = f x , onde f é uma função qualquer que satisfaz a desigualdade: 1 - x 2 ≤ f x ≤ cos ⁡ x Para todo x no intervalo - π 2 , π 2 . O que você pode diz
57-60. Aplique o resultado do Exercício 56, se necessário, para encontrar os limites.59. lim x → 0 ⁡ a r cs e n5 x x
57-60. Aplique o resultado do Exercício 56, se necessário, para encontrar os limites.58. lim x → 0 ⁡ a r ct gx x
Use o Teorema do Confronto para mostrar que: lim x → 0 ⁡ x . cos ⁡ 50 π x = 0 E ilustre o princípio envolvivo usando um recurso gráfico computacional para fazer os gráficos de y = x , y = - x e y = x
57-60. Aplique o resultado do Exercício 56, se necessário, para encontrar os limites.60. lim x → 1 ⁡ a r cs e nx - 1 x 2 - 1