Enunciado

Use o Teorema do Confronto para mostrar que:

lim x → 0 ⁡ x . cos ⁡ 50 π x = 0

E ilustre o princípio envolvivo usando um recurso gráfico computacional para fazer os gráficos de y = x , y = - x e y = x . cos ⁡ 50 π x na mesma tela da janela - 1 ,   1 × [ - 1 ,   1 ] .

Passo 1

Então galera, como sabemos que as funções trigonométricas variam de - 1 até 1 , podemos escrever nosso teorema do confronto da seguinte forma:

- 1 ≤ cos ⁡ 50 π x ≤ 1

Considerando que x ≠ 0 porque há um x no denominador, temos que:

- x ≤ x . cos ⁡ 50 π x ≤ x

A partir disso, temos que quando x → 0 o que acontece é que x → 0 da mesma forma. Sendo assim, as desigualdades implicam que:

lim x → 0 ⁡ x . cos ⁡ 50 π x = 0

Que é exatamente o resultado que esperávamos e que o enunciado cede!

Passo 2

Para visualizarmos se, de fato, nosso resultado está correto, vamos plotar os gráficos de y = x , y = - x e y = x . cos ⁡ 50 π x , se liga:

Por mais que esteja difícil de visualizar, temos que a função em verde (acima do eixo x ) é y = x , a função em azul (abaixo do eixo x ) é y = - x e, por fim, a função em laranjado é y = x . cos ⁡ 50 π x . Aqui vale ressaltar que essa última função não é uma região, ok? Se trata de uma função periódica com o período muito baixo, o que faz com que as curvas fiquem muito próximas uma das outras. Em uma outra escala temos que ela é da seguinte forma:

E esse é o nosso resultado, galera!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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