Enunciado

Uma sala de conferências de uma corporação contém 4500   p é s 3 de ar inicialmente isento de monóxido de carbono. A partir do tempo t = 0 fumaça de cigarro contendo 4% de monóxido de carbono é expelida para a sala à taxa de 0,3   p é s 3 / m i n . Um ventilador de teto mantém o ar da sala bem distribuído, e o ar sai da sala à mesma taxa de 0,3   p é s 3 / m i n . Determine o momento em que a concentração de monóxido de carbono na sala atinge 0,01 %.

Passo 1

Seja y ( t ) a quantidade de monóxido de carbono na sala no tempo t .

Bom, a taxa de monóxido de carbono que entra na sala é:

4 100 ∙ 3 10 = 12 1000 p é s 3 / m i n

E a taxa de monóxido de carbono que sai da sala é:

y 4500 3 10 = 3 y 45000 = y 15000 p é s 3 / m i n

Então,

d y d t = 12 1000 - y 15000

Agora a gente vai resolver essa equação diferencial:

Passo 2

d y d t + 1 15000 y = 12 1000

Seja P t = 1 15000 e Q x = 12 1000 , faremos a integral de P ( t ) inicialmente...

∫ 1 15000 d t   = t 15000

Aí fazemos:

v t = e t 15000

Então...

y t = 1 e t 15000 ∫ e t 15000 12 1000 d t

y t = e - t 15000 ( 12 ∙ 15000 1000 e t 15000 + C )  

y t = e - t 15000 180   e t 15000   + C

Vamos agora achar o valor da constante C , tendo pelo enunciado que y 0 = 0 .

y 0 = e 0 ( 180   e 0 + C = 0

C =   - 180

Então,

y t = 180 - 180   e - t 15000

Passo 3

Observe que procuramos o momento que a concentração na sala é 0,01 % , ou seja:

y 45000 = 0,01 100

Resolvendo, achamos

y = 0,45   p é s 3

Fazendo então y t = 0,45 , temos:

0,45 = 180 - 180   e - t 15000

179,55 180 = e - t 15000

t =   - 15000 ln ⁡ 179,55 180 ≅ 37,55   m i n

Que é o momento procurado.

Resposta

37 ,   55   m i n

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