Enunciado

O ar em uma sala com volume 180   m 3 contém 0,15   % de dióxido de carbono inicialmente. Ar mais fresco com apenas 0,05   % de dióxido de carbono entra na sala a uma taxa de 2   m 3 / m i n e o ar misturado sai na mesma taxa. Encontre a porcentagem de dióxido de carbono na sala como uma função do tempo. O que acontece a longo prazo?

Passo 1

Ei, pessoal! Aqui a gente basicamente precisa encontrar uma equação diferencial que descreva o que tá acontecendo nessa situação, pra depois resolvê-la.

Veja, tá entrando e saindo ar com diferentes porcentagens de carbono. Se chamarmos de x t   a concentração de dióxido de carbono na sala no instante t , então d x d t seria a variação dessa concentração no tempo, depois a gente se preocupa em converter pra porcentagem. Basicamente, a gente tem que olhar pra quantidade que entra e que sai, e a velocidade ou taxa em que cada coisa acontece. Vamo lá?

Passo 2

Então, pessoal, vamos subtrair a taxa de saída de dióxido de carbono da taxa de entrada, não esquecendo de dividir pelo volume da sala, já que estamos buscando a variação da concentração:

d x d t = t a x a   d e   e n t r a d a   d e   d i ó x i d o - t a x a   d e   s a í d a   d e   d i ó x i d o v o l u m e   d a   s a l a

Essas taxas não são as mesmas de entrada ou saída de ar, pois o ar não é feito somente de C O 2 . Temos que saber qual a fração da taxa de entrada ou saída de ar corresponde à taxa de entrada ou saída de dióxido, e pra isso, basta multiplicar pelas respectivas concentrações de dióxido no ar.

O enunciado nos deu a concentração de 0,05   % para o ar que entra, e x t é a concentração do ar que sai:

d x d t = 2   m 3 / m i n × 0,05 %   -   2 m 3 / m i n × x ( t ) 180

d x d t = 2   .     0,0005 - 2 x 1 80

d x d t = 0,0005 - x 90

Passo 3

Agora é só resolver a equação diferencial separável, botando cada variável pra um lado, e integrando separadamente:

1 0,0005 - x   d x = 1 90   d t

∫ 1 0,0005 - x   d x = ∫ 1 90   d t + C

- ln ⁡ 0,0005 - x = t 90 + C

0,0005 - x = e - t 90 + C

0,0005 - x = C e - t 90

No instante inicial, a concentração era 0 , 15   % , então x 0 = 0 , 00 15 e usamos isso pra calcular C :

0,0005 - 0 , 00 15 = C e - 0 90

C = - 0 , 0010

Agora substituímos o valor de C e isolamos o x :

0,0005 - x = - 0,001   e - t 90

x t = 0,0005 + 0,001   e - t 90

Como o enunciado pede a porcentagem de dióxido em função do tempo, é só multiplicar a função por 100:

x t = 0,05 + 0,1   e - t 90

Passo 4

Beleza, galera? Ainda temos que descobrir o que vai acontecer a longo prazo. E Isso é o mesmo que calcular o limite da função que a gente já encontrou, quando t → ∞ , ok?

lim t → ∞ ⁡ x t = lim t → ∞ ⁡ 0,05 + 0,1   e - t 90 = 0,05 + 0,1   .   0 = 0,05

Bom, então o que acontece a longo prazo é que a concentração de dióxido de carbono na sala vai ficando cada vez mais próxima de 0,05 % .

Resposta

x t = 0,05 + 0,1   e - t 90

x → 0,05 %

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