Enunciado

Encontre a função f tal que f ‘ ( x ) = f ( x ) ( 1 – f ( x ) ) e f (0) = (1)/(2) .

Passo 1

Primeiro, vamos escrever f (x) como y , e f ' ( x ) como (d y)/(d x) , assim fica mais fácil de enxergar as coisas. Ficamos então com a seguinte equação:

(d y)/(d x) = y ( 1 - y )

Mano, que lindo! Às vezes, tudo é apenas uma questão de reescrever as coisas de um outro jeito.

No final das contas, o que o exercício pede é que resolvamos essa equação diferencial.

Passo 2

Galera, se a gente conseguir colocar tudo que tem a ver com x de um lado da equação, e tudo que tem a ver com y do outro lado, então a gente tem uma equação separável. Vamo tentar?

(1)/(y (1 - y)) d y = d x

Conseguimos! Agora bora integrar cada lado, e não vamos esquecer da constante!

int (1)/(y (1 - y)) d y = int 1 d x

De cara, a gente já sabe que a integral da direita vale:

int 1 d x = x

Mas a integral da esquerda vai nos dar um pouco mais de trabalho.

Passo 3

Agora vamos nos concentrar nesta integral:

int (1)/(y ( 1 - y )) d y

Não seria muito mais fácil se só tivéssemos que integrar coisas do tipo:

int (1)/(y) d y e int (1)/(1 - y) d y ?

E é exatamente o que vamos fazer! Lembra lá do Cálculo 1 , quando a gente fazia uma decomposição em frações parciais? Aqui basta achar as constantes A e B que satisfaçam:

(1)/(y (1 - y)) = (A)/(y) + (B)/(1 - y)

(1)/(y (1 - y)) = (A (1 - y) + B y)/(y (1 - y))

Como os denominadores já são iguais, basta trabalhar com os numeradores:

1 = A - A y + B y

0 y + 1 = (B - A) y + A

De onde tiramos que:

A = B = 1

Então resolvemos nossa integral tranquilamente:

int (1)/(y (1 - y)) d y = int ((1)/(y) + (1)/(1 - y)) d y = int (1)/(y) d y + int (1)/(1 - y) d y = ln |y| - l n | 1 - y |

Passo 4

Agora que já temos todos os valores das integrais, voltamos à nossa equação:

int (1)/(y (1 - y)) d y = int 1 d x

ln |y| - ln |1 - y| = x

Pra descobrir a constante C , voltamos ao enunciado e vemos que f (0) = (1)/(2) , ou seja, quando x = 0 , teremos y = (1)/(2) . Então substituímos esses valores na equação:

ln |(1)/(2)| - ln |1 - (1)/(2)| = 0 + C

ln |(1)/(2)| - ln |(1)/(2)| = C

C = 0

Nossa equação fica assim por enquanto:

ln |y| - ln |1 - y| = x

Passo 5

Encontramos a equação no passo anterior, mas ainda precisamos isolar y , pois nosso objetivo final é escrever a função f ( x ) .

Para isso, vamos usar a propriedade de subtração de logaritmos:

ln |y| - ln |1 - y| = x

ln |(y)/(1 - y)| = x

|(y)/(1 - y)| = e^x

(y)/(1 - y) = +- e^x

Agora preste bastante atenção na manipulação de sinais quando multiplicamos cruzado:

y = +- e^x ∓ y e^x

y (1 +- e^x) = +- e^x

y = +- (e^x)/(1 +- e^x)

y = (e^x)/(1 + e^x) o u y = (e^x)/(e^x - 1)

Mas repara o seguinte: se substituirmos x = 0 na segunda expressão, o denominador dá zero, então a fração fica indefinida (lembre-se que isso não é limite).

Mas se fizermos o mesmo com a primeira expressão, resulta em y = (1)/(2) , que é justamente o que a nossa função satisfaz. Então ficamos com:

y = (e^x)/(1 + e^x)

Voltando para a notação do enunciado:

f (x) = (e^x)/(1 + e^x)

Ótimo! Matamos mais uma questão!

Resposta

f (x) = (e^x)/(1 + e^x)

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