Enunciado

  1. Prove que a equação tem pelo menos uma raiz real. (b) Use recursos gráficos para encontrar a raiz correta até a terceira casa decimal

53.

x 5 - x 2 - 4 = 0

Passo 1

Olá, meu querido aluno. Pronto para aprender mais um pouco sobre cálculo?

Veja bem, mas veja bem o que iremos fazer aqui. Precisamos provar que a questão dada tem pelo menos uma raiz real, isso é, um valor de x   que zero a função.

O teorema do valor intermediário diz o seguinte:

Suponha que f   seja contínua em um intervalo fechado a , b e seja N   um número qualquer entre f a e f b , em que f b ≠ f a . Existe um número c   em a , b tal que f c = N .

Resumindo, a gente precisa escolher um intervalo a , b , onde o nosso número N   , que no nosso caso é zero está entre:

f a < N < f b

f a < 0 < f b

E, com isso, provamos que existe um valor c   , que está entre a , b   , e esse valor c   é a raiz da função.

Passo 2

A função f ( x ) = x 5 - x 2 - 4 , é contínua em todo o seu domínio. Isso acontece, pois, nossa função é um polinômio, e todos os polinômios são contínuos em todo o seu domínio.

Nosso objetivo então é descobrir dois valores de f ( x ) tais que o 0 esteja entre eles:

f ( x ) =   x 5 - x 2 - 4

Então, o nosso objetivo é encontrar a ,   b   tal que:

f a < 0 < f b

Isso quer dizer que precisamos de um ponto da função menor que zero e outro ponto maior que zero.

Veja a nossa função, ela tem um termo elevado a 5 potência, ele termo irá crescer substancialmente mais que os outros termos da função, sendo assim, não é difícil encontrarmos um ponto maior que zero.

Vamos testar para b = 2   :

f 2 = 2 5 - 2 2   - 4

f 2 = 24

Agora vamos pensar em um valor menor do que zero. Veja que o nosso termo elevado a quinta potência é um termo ímpar, sendo assim, ao elevarmos um valor negativo a uma potência ímpar teremos um valor negativo, e agora termo a quinta potência irá diminuir muito mais rapidamente do que os outros termos da função.

Vamos testar para a = - 2   :

f - 2 = - 2 5 - 2 2   - 4

f - 2 = - 40

Então encontramos nossos pontos, sendo assim, temos um raiz real entre esses pontos.

Passo 3

Quando x = - 2   e x = 2 , temos um intervalo em que o 0 está contido entre eles, como f ( x ) é contínua, podemos afirmar que existe um valor para o qual f ( x ) = 0 , e esse valor está entre - 2,2

Utilizando do GeoGebra, vamos encontrar a raiz:

Raiz, pelo método gráfico é 1,434

Resposta

Raiz, pelo método gráfico é 1,434

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( a ) Demonstre que a equação tem pelo menos uma raiz real. ( b ) Use sua calculadora para encontrar um intervalo de comprimento 0,01 que contenha a raiz. f x = e x = 2 - x
( a ) Demonstre que a equação tem pelo menos uma raiz real. ( b ) Use sua calculadora para encontrar um intervalo de comprimento 0,01 que contenha a raiz. f x = x 5 - x 2 + 2 x + 3 = 0
( a ) Demonstre que a equação tem pelo menos uma raiz real. ( b ) Use sua ferramenta gráfica para encontrar a raiz correta até a terceira casa decimal. f x = a r c t gx + 1 - x
Existe um número que é exatamente um a mais que seu cubo?
( a ) Demonstre que a equação tem pelo menos uma raiz real. ( b ) Use sua ferramenta gráfica para encontrar a raiz correta até a terceira casa decimal. f x = 100 e - x 100 = 0 . 01 x 2