Enunciado

São dados uma função f e os números n, a e b. Aproxime até quatro casas decimais a área da região limitada pela curva y = f x , pelo eixo x e as retas x = a e x = b fazendo o seguinte: divida o intervalo [a, b] em n subintervalos de Δ x unidades de largura.

f x = c o s ( x ) , a = 0 , b = π 6 , n = 6 , retângulos circunscritos.

Passo 1

A questão nos pede para calcular a área cinza, limitada pelas três curvas e o eixo x:

Devemos então, conforme pedido, utilizar retângulos circunscritos na região para realizar o cálculo.

Passo 2

Como a nossa curva é decrescente no intervalo dado, 0 , π 2 , o valor máximo absoluto está no canto esquerdo dos subintervalos. Ou seja, usaremos f x i - 1 para os nossos cálculos.

Temos que:

A =   ∑ i = 1 n = 6 Δ x   f x i - 1

Sendo que:

Δ x = b - a n = π 2 - 0 6 = π 12

Δ x = 0,2618

Isto é, cada um dos 6 retângulos circunscritos possui 0,2618 de largura.

Passo 3

Podemos então calcular cada um dos x i - 1 que serão utilizados no cálculo, e também seus f ( x i - 1 ) correspondentes.

Não esqueça de passar a sua calculadora para radiano! 😉

x i - 1 = a + [ ( i - 1 ) * Δ x ]

f x i - 1 = s e n ( x i - 1 )

Podemos então calcular a área desejada:

A =   ∑ i = 1 n = 6 Δ x   f x i - 1

A =   Δ x   ∑ i = 1 n = 6   f x i - 1

A =   Δ x * ( f x 0 + f x 1 + f x 2 + f x 3 + f x 4 + f ( x 5 ) )

A =   0,2618 * 4,2979

Resposta

Obtemos então a área calculada da região sob o gráfico!

A =   1,1252

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As massas pontuais m i estão localizadas no eixo x conforme mostra a figura a seguir. Ache o momento M do sistema com relação à origem e o centro de massa x - .
Utilize a Regra de Simpson para calcular o centroide da região dada.
As massas pontuais m i estão localizadas nos pontos P i . Ache os momentos M x e M y e o centro de massa do sistema m 1 = 6 ,m 2 = 5 ,m 3 = 1 ,m 4 = 4 ; P 1 1 ,- 2 ,P 2 3 ,4 ,P 3 - 3 ,- 7 ,P 4 6 ,- 1
As massas pontuais m i estão localizadas nos pontos P i . Ache os momentos M x e M y e o centro de massa do sistema m 1 = 6 ,m 2 = 5 ,m 3 = 10 ; P 1 1 ,5 ,P 2 3 ,- 2 ,P 3 - 2 ,- 1
Encontre o centroide da região mostrada, não por integração, mas por localização dos centroides dos retângulos e triângulos (do Exercício 39 ) e usando a aditividade dos momentos.