Enunciado

Se v 1 ,   v 2 ,   v 3 são vetores não coplanares, sejam

k 1 = v 1 × v 3 v 1 ∙ v 2 × v 3

k 2 = v 3 × v 1 v 1 ∙ v 2 × v 3

k 3 = v 1 × v 2 v 1 ∙ v 2 × v 3

(Esses vetores aoarecem no estudo de cristalografia. Vetoes da forma n 1 v 1 + n 2 v 2 + n 3 v 3 onde cada n i é um inteiro, formam um reticulado para o cristal. Vetores escritos de modo semelhante em termos de k 1 ,   k 2 ,   k 3 foram o reticulado recíproco).

  1. Mostre que k i é perpendicular a v j se i ≠ j .
  2. Mostre que k i ∙ v i = 1 para i = 1,2 , 3 .
  3. Mostre que k 1 ∙ k 2 × k 3 = 1 v 1 ∙ v 2 × v 3

Passo 1

a )

A definição de k i diz que é o produto vetorial entre v j ' s e sabemos que o produto vetorial entre dois vetores resulta num vetor perpendicular simultaneamente a esses dois vetores.

Assim, k i é perpendicular a v j se i ≠ j .

Passo 2

b )

Para i = 1 :

k 1 ∙ v 1 = v 1 × v 3 v 1 ∙ v 2 × v 3 ∙ v 1 = 1

Para i = 2 :

k 2 ∙ v 2 = v 3 × v 1 v 1 ∙ v 2 × v 3 ∙ v 2

Pela propriedade 5 do produto vetorial:

k 2 ∙ v 2 = v 2 ∙ v 3 × v 1 v 2 ∙ v 3 × v 1 = 1

Para i = 3 :

k 3 ∙ v 3 = v 1 × v 2 v 1 ∙ v 2 × v 3 ∙ v 3

Pela propriedade 5 do produto vetorial:

k 3 ∙ v 3 = v 3 ∙ ( v 1 × v 2 ) v 3 ∙ v 1 × v 2 = 1

Passo 3

c )

k 1 ∙ k 2 × k 3 = k 1 ∙ v 3 × v 1 v 1 ∙ v 2 × v 3 × v 1 × v 2 v 1 ∙ v 2 × v 3

k 1 ∙ k 2 × k 3 = k 1 v 1 ∙ v 2 × v 3 2 ∙ v 3 × v 1 × v 1 × v 2

E, como é de costume desse livro querer que a gente adivinhe que tem que usar coisa de outra questão, aqui vamos ter que usar o resultado da questão 46, que diz que

a × b × c = a ∙ c b - a ∙ b c

Assim, na nomenclatura dessa questão, temos:

v 3 × v 1 × v 1 × v 2 = v 3 × v 1 ∙ v 2 v 1 - v 3 × v 1 ∙ v 1 v 2

Passo 4

Acontece que v 3 × v 1 ∙ v 1 = 0

POR QUE??????

Calma, vou explicar.

O produto vetorial diz que o vetor resultante é perpendicular simultaneamente aos dois vetores, certo?

Assim, o vetor v 3 × v 1 é perpendicular a v 3 e a v 1 , logo, o produto escalar dele com v 1 tem que ser nulo!

Sacou?

Dito isso, ficamos com:

v 3 × v 1 × v 1 × v 2 = v 3 × v 1 ∙ v 2 v 1 - v 3 × v 1 ∙ v 1 v 2 = v 3 × v 1 ∙ v 2 v 1

Passo 5

Agora vamos “atacar” isso que sobrou:

v 3 × v 1 × v 1 × v 2 = v 3 × v 1 ∙ v 2 v 1

Das propriedades do produto escalar, podemos dizer que

v 3 × v 1 ∙ v 2 = v 2 ∙ v 3 × v 1

Agora da propriedade do produto vetorial, podemos dizer que

v 2 ∙ v 3 × v 1 = v 2 × v 3 ∙ v 1

E de novo da propriedade do produto escalar:

v 2 × v 3 ∙ v 1 = v 1 ∙ v 2 × v 3

Assim, temos:

v 3 × v 1 × v 1 × v 2 = v 3 × v 1 ∙ v 2 v 1 = v 1 ∙ v 2 × v 3 v 1

Passo 6

Agora voltando lá na nossa expressão do passo 3:

k 1 ∙ k 2 × k 3 = k 1 v 1 ∙ v 2 × v 3 2 ∙ v 3 × v 1 × v 1 × v 2

Substituindo o que achamos até aqui:

k 1 ∙ k 2 × k 3 = k 1 v 1 ∙ v 2 × v 3 2 ∙ v 1 ∙ v 2 × v 3 v 1

Simplificando:

k 1 ∙ k 2 × k 3 = k 1 ∙ v 1 v 1 ∙ v 2 × v 3

Maaas, lá da letra b a gente descobriu que

k 1 ∙ v 1 = 1

Assim,

k 1 ∙ k 2 × k 3 = 1 v 1 ∙ v 2 × v 3

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Dados os vetores a → = 1 ,- 1 ,2 ,b → = ( 3 ,4 ,- 2 ) e c → = ( - 5 ,1 ,- 4 ) , mostrar que a → . b → × c → = a → × b → . c → .
70. Determinar o valor de k para que os seguintes vetores sejam coplanares:a) a = 2 , - 1 , k ,b = 1,0 , 2 e c = k , 3 , k b) a = 2,1 , 0 ,b = 1,1 , - 3 e c = k , 1 , - k c) a = 2 , k , 1 ,b = 1,2 , k
67. Verificar se são coplanares os seguintes vetores:a) u = 3 , - 1,2 , v = 1,2 , 1 e w = - 2,3 , 4 b) u = 2 , - 1,0 , v = 3,1 , 2 e w = 7 , - 1,2
67. Verificar se são coplanares os seguintes vetores:a) u = 3 , - 1,2 , v = 1,2 , 1 e w = - 2,3 , 4 b) u = 2 , - 1,0 , v = 3,1 , 2 e w = 7 , - 1,2
68. Verificar se são coplanares os pontos:a) A 1,1 , 1 , B - 2 , - 1 , - 3 , C 0,2 , - 2 e D - 1,0 , - 2 b) A 1,0 , 2 , B - 1,0 , 3 , C 2,4 , 1 e D - 1,0 , - 2 c) A 2,1 , 3 , B 3,2 , 4 ,C - 1 , - 1 ,