f) ∫ t g 5 x sec 4 ⁡ ( x ) d x  

Passo 1

I = ∫ t g 5 x sec 4 ⁡ ( x ) d x

Antes de começar a pensar em como resolver a integra, podemos simplificar nossa expressão!

t g 5 x sec 4 ⁡ ( x ) = s e n 5 x cos 5 ⁡ ( x ) ⋅ cos 4 ⁡ x = s e n 5 x cos ⁡ x

Logo,

I = ∫ s e n 5 x cos ⁡ x d x

Pra facilitar nossa vida vamos chamar o denominador de u , logo:

u = cos ⁡ x

Derivando,

d u = - s e n x d x

Passo 2

Agora vamos arrumar a casa!

Nossa integral era o seguinte:

I = ∫ s e n 5 x cos ⁡ x d x = ∫ s e n 4 x cos ⁡ x s e n x d x

Agora vamos expressar esse s e n 4 ( x ) em função de u , isto é, cos ⁡ x !

Da trigonometria, temos:

s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1 → s e n 2 x = 1 - u 2

Mas queremos s e n 4 ( x ) , logo:

s e n 4 x = 1 - u 2 2 = 1 - 2 u 2 + u 4

Indo para variável u :

I = ∫ s e n 4 x cos ⁡ x s e n x d x = ∫ 1 - 2 u 2 + u 4 u - d u = - ∫ 1 - 2 u 2 + u 4 u d u

Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + c   quando   n   ≠ - 1 e ∫ 1 x d x = ln ⁡ x + c

Passo 3

Agora vamos finalizar!

I = - ∫ 1 - 2 u 2 + u 4 u d u = - ∫ d u u + 2 ⋅ ∫ u   d u - ∫ u 3 d u

Resolvendo, temos:

I = - ln ⁡ u + 2 ⋅ u 2 2 - u 4 4 + c = - ln ⁡ u + u 2 - u 4 4 + c

Voltando para variável c o s ( x )

I = - ln ⁡ cos ⁡ x + cos 2 ⁡ x - cos 4 ⁡ x 4 + c

Portanto:

I = - ln ⁡ cos ⁡ x + 1 sec 2 ⁡ x   - 1 4 ⋅ sec 4 ⁡ ( x ) + c

Resposta

- ln ⁡ cos ⁡ x + 1 sec 2 ⁡ x   - 1 4 ⋅ sec 4 ⁡ ( x ) + c

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