6. Utilizando o Exercício 5, calcule.

e )   ∫ 5 x + 3 x 2 - 3 x + 2 d x

Passo 1

Vemos que a função na nossa integral não é parecida com a fórmula do exercício 5. Logo, para melhorar vamos usar o conceito que diz que se α e   β são raízes da equação a x 2 + b x + c = 0 , então a x 2 + b x + c = a ( x - α ) ( x - β ) . Ou seja, descobrindo as raízes da equação no denominador, podemos fatorar o mesmo. Nesse caso, por meio de Bhaskara, obtemos as raízes x = 1 e x = 2 . Dessa forma,

∫ 5 x + 3 x 2 - 3 x + 2 d x =   ∫ 5 x + 3 ( x - 2 ) ( x - 1 ) d x

Passo 2

Agora, como pedido no enunciado, vamos usar a fórmula m x + n ( x - α ) ( x - β ) = A x - α + B x - β .

5 x + 3 ( x - 2 ) ( x - 1 ) =   A x - 2 + B x - 1

Faremos com que todos denominadores fiquem iguais multiplicando cada uma das frações pelo termo que está faltando nelas. Não se esquecendo que devemos multiplicar o numerador e o denominador de cada fração pelo mesmo termo para não alterar a proporcionalidade da fração.

5 x + 3 ( x - 2 ) ( x - 1 ) =   A x - 2 ( x - 1 ) ( x - 1 ) + B x - 1 ( x - 2 ) ( x - 2 )

5 x + 3 ( x - 2 ) ( x - 1 ) = A ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 1 ) + B ( x - 2 ) ( x - 1 ) ( x - 2 )

Como todos os termos estão sendo divididos pelo mesmo termo, multiplicando tudo por ( x - 2 ) ( x - 1 ) . Assim,

5 x + 3 = A x - 1 + B x - 2

5 x + 3 = x A - A + x B - 2 B  

5 x + 3 = A + B x + ( - A - 2 B )  

Sabendo que a parte esquerda da igualdade deve ser igual a m x + n . Pelo lado esquerdo, temos que m = 5   e, como o termo independente é 3 , n = 3 . Enquanto isso, olhando pelo lado direito m = ( A + B ) e n = ( - A - 2 B )   . Então, montando o sistema:

A + B = 5 ( - A - 2 B ) = 3  

⇒ A + B = 5 ⇒ A = 5 - B   (1)

⇒ - A - 2 B = 3 ⇒ A =   - 3 - 2 B   (2)

Igualando (1) e (2)

⇒ 5 - B = - 3 - 2 B ⇒ 2 B - B = - 3 - 5 ⇒ B = - 8  

Colocando o valor de B em qualquer uma das equações, obtemos

A = 13

Logo,

5 x + 3 x - 2 x - 1 =   A x - 2 + B x - 1

5 x + 3 ( x - 2 ) ( x - 1 ) =   13 x - 2 - 8 x - 1

Passo 3

Substituindo na integral

∫ 5 x + 3 ( x - 2 ) ( x - 1 ) d x =   ∫ 13 x - 2 - 8 x - 1 d x   =   ∫ 13 x - 2 d x - ∫ 8 x - 1 d x  

Para a primeira integral, fazendo u = x - 2   ⇒ d u = d x  

∫ 13 x - 2 d x = 13 ∫ 1 x - 2 d x = 13 ∫ 1 u d u = 13 ln ⁡ u + k = 13 ln ⁡ x - 2 + k

Para a segunda integral, fazendo u = x - 1   ⇒ d u = d x

∫ 8 x - 1 d x = 8 ∫ 1 x - 1 d x = 8 ∫ 1 u d u = 8 ln ⁡ u + k = 8 ln ⁡ x - 1 + k

Portanto,

∫ 13 x - 2 d x - ∫ 8 x - 1 d x   =   13 ln ⁡ x - 2 -   8 ln ⁡ x - 1 + k

Resposta

Logo, a resposta dessa integral é

∫ 5 x + 3 x 2 - 3 x + 2 d x =   13 ln ⁡ x - 2 -   8 ln ⁡ x - 1 + k

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