Enunciado

(a) Se f x = sec ⁡ x - x , encontre f ' ( x ) .

(b) Verifique que sua resposta para a parte (a) é razoável fazendo os gráficos de f e f ' para x < π / 2 .

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos calcular a derivada da seguinte função:

f x = sec ⁡ x - x

Para isso, precisaremos da regra do quociente, pois podemos reescrever essa equação da seguinte forma:

f x = 1 cos ⁡ x - x

Então para derivarmos o primeiro termo, se faz necessaria a regra do quociente.

Sejam h e g duas funções deriváveis, então a derivada do quociente h / g é dada por:

d d x h x g x = g x d d x h x - h x d d x   g x g x 2

Também precisamos saber que:

cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

x n ' = n x n - 1

Onde n é um número inteiro.

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

Item a:

Para derivarmos vamos, primeiramente, reescrever a equação de forma mais simples:

f x = sec ⁡ x - x

Sabemos que a secante é o inverso do cosseno, logo:

f x = 1 cos ⁡ x - x

Agora, para derivarmos, podemos aplicar a regra da subtração:

f ' x = d d x 1 cos ⁡ x - x

f ' x = d d x 1 cos ⁡ x - d d x x

Aplicando a regra do quociente em d d x 1 cos ⁡ x e da potência em d d x x , temos:

f ' x = d d x 1 ∙ cos ⁡ x - 1 ∙ d d x ( cos ⁡ x ) cos 2 ⁡ x - 1

Colocando a derivada de cos ⁡ x :

f ' x = 0 ∙ cos ⁡ x - 1 ∙ ( - sen ⁡ x ) cos 2 ⁡ x - 1

Simplificando:

f ' x = sen ⁡ x cos 2 ⁡ x - 1

Organizando para que possamos aplicar uma identidade trigonométrica:

f ' x = sen ⁡ x cos ⁡ x ∙ 1 cos ⁡ x - 1

Reescrevendo:

f ' x = tg ⁡ x sec ⁡ x - 1

Passo 3

Item b:

Temos então o gráfico, iremos plotar utilizando o GeoGebra:

Podemos ver que a função é decrescente enquanto o a derivada é negativa e crescente quando a derivada é positiva.

Resposta

  1. f ' x = tg ⁡ x sec ⁡ x - 1
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