Enunciado

(a) Se f x = e x cos ⁡ x , encontre f ' ( x ) e f " ( x ) .

(b) Verifique que sua resposta para a parte (a) é razoável fazendo os gráficos de f , f ' e f " .

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... queremos encontrar a primeira e a segunda derivada da seguinte função:

f x = e x cos ⁡ x

Para isso, precisaremos aplicar a regra do produto, que é dada por:

u v ' = u ' v + u v '

A gente também precisa ter em mente as seguintes derivadas:

e u = e u

s e n   x ' = cos ⁡ x

cos ⁡ x ' = - s e n   x

Depois, iremos plotar f x e suas derivadas a fim de observar se as nossas respostas fazem sentido (por meio do crescimento e decrescimento das derivadas!!).

E aí?? Bora lá?? 😉

Passo 2

Item a:

Para derivarmos a função, devemos utilizar a regra do produto:

f ' x = d d x e x cos ⁡ x ∴

f ' x = d d x e x × cos ⁡ x + e x × d d x cos ⁡ x

Derivando a exponencial e o cosseno, temos:

f ' x = e x × cos ⁡ x + e x × - sen ⁡ x ∴

f ' x = e x cos ⁡ x - e x sen ⁡ x ∴

Colocando a exponencial em evidência:

f ' x = e x cos ⁡ x - sen ⁡ x

Passo 3

Para obter f ' ' ( x ) , devemos derivar f ' ( x ) e para isso, usamos novamente a regra do produto:

f ' ' x = d d x e x cos ⁡ x - sen ⁡ x ∴

f ' ' x = d d x e x × cos ⁡ x - sen ⁡ x + e x × d d x cos ⁡ x - sen ⁡ x

Derivando a exponencial e distribuindo a derivada (regra da soma/diferença), temos:

f ' ' x = e x × cos ⁡ x - sen ⁡ x + e x × d d x cos ⁡ x - d d x sen ⁡ x

Aplicando a derivada do seno e do cosseno:

f ' ' x = e x × cos ⁡ x - sen ⁡ x + e x × - sen ⁡ x - cos ⁡ x

Colocando a exponencial em evidência:

f ' ' x = e x cos ⁡ x - sen ⁡ x - sen ⁡ x - cos ⁡ x ∴

f ' ' x = e x - 2 sen ⁡ x ∴

f ' ' x = - 2 e x sen ⁡ x

Passo 4

Item b:

Temos então o gráfico:

Podemos ver que é razoável pois quando f ' ' ( x ) é negativa, f ' x está decrescendo, quando f ' ' ( x ) é positiva, f ' x está crescendo e ao mesmo tempo, quando f ' ( x ) é negativa, f x está decrescendo, quando f ' ( x ) é positiva, f x está crescendo.

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

(a) f ' x = e x cos ⁡ x - sen ⁡ x e f ' ' x = - 2 e x sen ⁡ x

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