Enunciado

Seja f x = 1 x e

g x = 1 x   s e   x > 0 1 + 1 x   s e < 0

Mostre que f ' x = g ' ( x ) para todo x em seus domínios. Podemos concluir a partir do Corolário 7 que f - g é constante?

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui estarei te ajudando a resolver essa atividade. Aqui queremos provar a igualdade entre as duas derivadas das funções dada.

Depois de provar o que queremos, nós iremos determinar se f - g é constante ou não.

Passo 2

Primeiro, nós determinamos a primeira derivada da função f ( x ) . Quando, x > 0 .

f ' x = 1 x '

= x - 1 '

= - 1 ∙ x - 2

Depois disso, nós determinamos a primeira derivada da função g ( x ) . Quando x > 0 .

g ' x = x - 1 '

= - 1 ∙ x - 2

f ' x = g ' x

Agora iremos determinar a primeira derivada da função g ( x ) . Quando x < 0 .

g ' x = 1 + 1 x

= 0 + - 1 x - 2

= - x - 2

= f ' x

f ' ( x ) e g ' ( x ) não são definidas em x = 0 . Se nós olharmos para x > 0 :

f - g = 1 x - 1 x = 0

E se olharmos x < 0 :

f - g = 1 x - 1 + 1 x = - 1

Portanto, ( f - - g ) não é constante, porque ( f - - g ) possui múltiplos valores.

Resposta

Ver a resolução.

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