Enunciado

O segmento curvilíneo y = x 2 de x = 1 até x = 2 pode também ser expresso como o gráfico de x = y de y = 1 até y = 4 . Monte duas integrais que deem o comprimento de arco desse segmento, uma usando integração em relação a x   e a outra usando integração em y   . Obtenha uma substituição que mostre que essas duas integrais são iguais

Passo 1

E aí, tudo joia?

A gente vai montar a integral do comprimento pros dois casos, usando a relação:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2   d x

Vamos fazer do caso em que y = x 2 primeiro.

Vamos ter:

f ' x = 2 x

E aí jogando na integral:

L 1 = ∫ 1 2 1 + 4 x 2   d x

Passo 2

Vamos fazer agora com x = y . Temos que:

f ' y = 1 2 y

E aí montando a integral, temos:

L 2 = ∫ 1 4 1 + 1 2 y 2   d y

= ∫ 1 4 1 + 1 4 y   d y

= ∫ 1 4 4 y + 1 4 y   d y

= ∫ 1 4 4 y + 1 2 y   d y

Isso aí! essa é a expressão pra calcular em função de y .

Passo 3

Vamos verificar que as duas são iguais agora. Vamos pegar a primeira expressão de volta.

Vamos fazer a substituição y = x 2 . Aí teremos os limites de integração sendo 1   e   4 e d y = 2 x   d x → d x = d y 2 x . Vai ficar assim:

L 1 = ∫ 1 4 1 + 4 y 2 x  

Sendo que x = y :

L 1 = ∫ 1 4 1 + 4 y 2 y

Que é a mesma expressão de L 2 . Ou seja, comprovamos que o comprimento é o mesmo calculado das duas formas😉

Resposta

L 1 = ∫ 1 2 1 + 4 x 2   d x

L 2 =   ∫ 1 4 4 y + 1 2 y   d y

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15. y = x 2, 0 ≤ x≤x
10. y = x 3 ,d eP 0 0,0a t eP 1 ( 4,8 )
17. x 2 - y 2 = 1d eP 0 3 , - 2 2a t eP 1 3,2 2
14. x 2 = y 3d eP 0 0 , 0a t éP 1 ( 8 , 4 ) é .
11. y = 4 x 3 + 2d eP 0 0,2a t éP 1 ( 1,6 ) é .