Enunciado

A segunda derivada direcional de f ( x , y ) é

D u 2 f x , y = D u D u f x , y

Se f x , y = x 3 + 5 x 2 y + y 3 e u → = 3 5 , 4 5 , calcule D u 2 f ( 2 ,   1 ) .

Passo 1

A questão pede para calcularmos a segunda derivada direcional de f no ponto ( 2 ,   1 ) , onde a direção da derivada é

u → = 3 5 , 4 5

Note que o vetor já está normalizado!

Devemos calcular

D u 2 f x , y = D u D u f x , y = D u g x , y ,

onde

g x , y = D u f ( x , y )

Tomando o gradiente de f :

∇ f x , y = ( 3 x 2 + 10 x y ,   5 x 2 + 3 y 2 )

Assim,

g x , y = ∇ f x , y ⋅ u → = 3 x 2 + 10 x y ,   5 x 2 + 3 y 2 ⋅ 3 5 , 4 5

Portanto,

g x ,   y = 9 x 2 5 + 6 x y + 4 x 2 + 12 y 2 5 = 29 x 2 5 + 6 x y + 12 y 2 5

Passo 2

Agora vamos procurar a segunda derivada fazendo

D u 2 f x , y = D u g x , y = ∇ g x , y ⋅ u →

Tomando o gradiente de g :

∇ g x , y = 5 8 x 5 + 6 y ,   6 x + 24 y 5

Assim,

D u 2 f x , y = 5 8 x 5 + 6 y ,   6 x + 24 y 5 ⋅ 3 5 , 4 5

Logo,

D u 2 f x , y = 17 4 x 25 + 18 y 5 + 24 x 5 + 96 y 25 = 29 4 x 25 + 186 y 25

Usando x = 2 e y = 1 :

D u 2 f 2 ,   1 = 58 8 + 186 25 = 77 4 25

Resposta

D u 2 f 2 ,   1 = 77 4 25

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Determine a derivada direcional de f ( x , y ) = x . y em P 2,8 na direção de Q 5,4 .