Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.7 - Ex. 8
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
Passo 1
A questão pede para acharmos os máximos e mínimos locais da função dada. Para isso, vamos encontrar primeiro os pontos críticos e depois fazer o teste da segunda derivada!
Nesse problema, nossa função é
Tomando as derivadas parciais de primeira ordem:
Os pontos críticos são obtidos fazendo . Assim, como a exponencial nunca pode ser zero, só nos resta:
Da primeira equação tiramos
Da segunda, como , devemos ter . Portanto, os pontos críticos são:
Passo 2
Para o teste da segunda derivada, tomamos as segundas derivadas:
Assim, o determinante hessiano será
Logo,
O termo que vai controlar o sinal de é
Passo 3
Nos dois pontos críticos , de modo que
Nos dois pontos , de modo que
Logo,
Para , . Olhando para
O que trata-se de um ponto de mínimo local.
E para , . Olhando para :
Portanto, trata-se de um máximo local!