Enunciado

Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.

f x , y = x e - 2 x 2 - 2 y 2

Passo 1

A questão pede para acharmos os máximos e mínimos locais da função dada. Para isso, vamos encontrar primeiro os pontos críticos e depois fazer o teste da segunda derivada!

Nesse problema, nossa função é

f x , y = x e - 2 x 2 - 2 y 2

Tomando as derivadas parciais de primeira ordem:

f x = e - 2 x 2 - 2 y 2 - 4 x 2 e - 2 x 2 - 2 y 2 = ( 1 - 4 x 2 ) e - 2 x 2 - 2 y 2

f y = - 4 x y e - 2 x 2 - 2 y 2

Os pontos críticos são obtidos fazendo f x = f y = 0 . Assim, como a exponencial nunca pode ser zero, só nos resta:

1 - 4 x 2 = 0 4 x y = 0

Da primeira equação tiramos

x 2 = 1 4 ⇒ x = ± 1 2

Da segunda, como x ≠ 0 , devemos ter y = 0 . Portanto, os pontos críticos são:

- 1 2 ,   0           e           1 2 ,   0

Passo 2

Para o teste da segunda derivada, tomamos as segundas derivadas:

f x x = - 8 x e - 2 x 2 - 2 y 2 - 4 x 1 - 4 x 2 e - 2 x 2 - 2 y 2 = ( 16 x 3 - 12 x ) e - 2 x 2 - 2 y 2

f y y = - 4 x e - 2 x 2 - 2 y 2 + 16 x y 2 e - 2 x 2 - 2 y 2 = ( 16 x y 2 - 4 x ) e - 2 x 2 - 2 y 2

f x y = f y x = - 4 y ( 1 - 4 x 2 ) e - 2 x 2 - 2 y 2

Assim, o determinante hessiano será

D = f x x f x y f y x f y y = ( 16 x 3 - 12 x ) e - 2 x 2 - 2 y 2 - 4 y ( 1 - 4 x 2 ) e - 2 x 2 - 2 y 2 - 4 y ( 1 - 4 x 2 ) e - 2 x 2 - 2 y 2 ( 16 x y 2 - 4 x ) e - 2 x 2 - 2 y 2

Logo,

D = e - 2 x 2 - 2 y 2 2 16 x 3 - 12 x 16 x y 2 - 4 x - 16 y 2 1 - 4 x 2 2

O termo que vai controlar o sinal de D é

I = 16 x 3 - 12 x 16 x y 2 - 4 x - 16 y 2 1 - 4 x 2 2

Passo 3

Nos dois pontos críticos y = 0 , de modo que

I = - 4 x 16 x 3 - 12 x = - 16 x 2 ( 4 x 2 - 3 )

Nos dois pontos x 2 = 1 / 4 , de modo que

4 x 2 - 3 = 1 - 3 = - 2

Logo,

I = 32 x 2

Para x = - 1 2 , I > 0 . Olhando para f x x

f x x = 16 ⋅ - 1 8 - 12 ⋅ - 1 2 e 1 = - 2 + 6 e = 4 e > 0

O que trata-se de um ponto de mínimo local.

E para x = 1 / 2 , I > 0 . Olhando para f x x :

f x x = 16 ⋅ 1 8 - 12 ⋅ 1 2 e - 2 4 = e - 1 / 2 ⋅ 2 - 6 = - 4 e - 1 2 < 0

Portanto, trata-se de um máximo local!

Resposta

- 1 2 ,   0     →   p o n t o s   d e   m í n i m o   l o c a l

1 2 ,   0   →         m á x i m o   l o c a l

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