Enunciado

Utilize a regra da cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.

u = x e t y ,             x = α 2 β ,             y = β 2 γ ,             t = γ 2 α ;

∂ u ∂ α ,     ∂ u ∂ β ,                 ∂ u ∂ γ               q u a n d o   α = - 1 ,         β = 2 ,           γ = 1

Passo 1

O problema pede para você usar a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais indicadas.

Note que u é função de x , y e t . Mas estes são funções de α , β e γ . Desta forma, u é uma função composta:

∂ u ∂ α = ∂ u ∂ x ⋅ ∂ x ∂ α + ∂ u ∂ y ⋅ ∂ y ∂ α + ∂ u ∂ t ⋅ ∂ t ∂ α

∂ u ∂ β = ∂ u ∂ x ⋅ ∂ x ∂ β + ∂ u ∂ y ⋅ ∂ y ∂ β + ∂ u ∂ t ⋅ ∂ t ∂ β

∂ u ∂ γ = ∂ u ∂ x ⋅ ∂ x ∂ γ + ∂ u ∂ y ⋅ ∂ y ∂ γ + ∂ u ∂ t ⋅ ∂ t ∂ γ

Vamos tomar as derivadas com relação a x , y e t :

∂ u ∂ x = e t y

∂ u ∂ y = x t e t y

∂ u ∂ t = x y e t y

Quando α = - 1 , β = 2 e γ = 1 , temos que

x = 2

y = 4

t = - 1

Assim,

∂ u ∂ x = e - 4

∂ u ∂ y = - 2 e - 4

∂ u ∂ t = 8 e - 4

Passo 2

Agora fazemos as derivadas de x , y e t com relação a α , β e γ :

∂ x ∂ α = 2 α β = - 4 ,           ∂ x ∂ β = α 2 = 1             e                 ∂ x ∂ γ = 0

∂ y ∂ α = 0 ,           ∂ y ∂ β = 2 β γ = 4             e                 ∂ y ∂ γ = β 2 = 4

∂ t ∂ α = γ 2 = 1 ,           ∂ t ∂ β = 0           e                 ∂ t ∂ γ = 2 α γ = - 2

Passo 3

Portanto,

∂ u ∂ α = ∂ u ∂ x ⋅ ∂ x ∂ α + ∂ u ∂ y ⋅ ∂ y ∂ α + ∂ u ∂ t ⋅ ∂ t ∂ α = e - 4 ⋅ ( - 4 ) - 2 e - 4 ⋅ 0 + 8 e - 4 ⋅ 1

Logo,

∂ u ∂ α = 4 e - 4

Analogamente,

∂ u ∂ β = ∂ u ∂ x ⋅ ∂ x ∂ β + ∂ u ∂ y ⋅ ∂ y ∂ β + ∂ u ∂ t ⋅ ∂ t ∂ β = e - 4 ⋅ 1 - 2 e - 4 ⋅ 4 + 8 e - 4 ⋅ 0

Portanto,

∂ u ∂ β = - 7 e - 4

Por fim,

∂ u ∂ γ = ∂ u ∂ x ⋅ ∂ x ∂ γ + ∂ u ∂ y ⋅ ∂ y ∂ γ + ∂ u ∂ t ⋅ ∂ t ∂ γ = e - 4 ⋅ 0 - 2 e - 4 ⋅ 4 + 8 e - 4 ⋅ ( - 2 )

∂ u ∂ γ = - 24 e - 4

Resposta

∂ u ∂ α = 4 e - 4

∂ u ∂ β = - 7 e - 4

∂ u ∂ γ = - 24 e - 4

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Escrever a regra da cadeia parac) h ( u , v , w ) = f x ( u , v , w ) , y u , v , z ( w )
Escrever a regra da cadeia paraa) h ( x , y ) = f x , u x , y