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Seja f : I → R contínua, onde I é um intervalo qualquer. Prove que a imagem de f é um intervalo.

Passo 1

Vamos chamar de A , o conjunto imagem de f no intervalo I , ou seja,

A = f x | x ∈ I

Agora vamos para as possibilidades! Temos, então, que A pode ser:

- limitado superiormente, f x < M , ou não;

-limitado inferiormente, f x > m , ou não.

Além disso, podemos ter I : um intervalo aberto, fechado ou semiaberto.

Então vamos combinar tudo!

Passo 2

Assim, podemos ter 9 passibilidades para Im ⁡ f :

Im ⁡ f = m , M

Im ⁡ f = m , M

Im ⁡ f = m , M

Im ⁡ f = m , M

Im ⁡ f = m , + ∞

Im ⁡ f = m , + ∞

Im ⁡ f = - ∞ , M

Im ⁡ f = - ∞ , M

Im ⁡ f = - ∞ , + ∞

Assim, como, obrigatoriamente, um dos casos ocorre, e em todo os casos a imagem é um conjunto, temos que a imagem de f é um intervalo.

Exercícios de Livros Relacionados

Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,           a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 ,     x ≠ 1 1 ,     x = 1 ,               a = 1
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Encontre os pontos nos quais f é descontínua. Em quais desses pontos f é contínua à direita, à esquerda ou nenhum deles? Esboce o gráfico de f . f x = 1 + x 2 ,                    ...
Encontre os pontos nos quais f é descontínua. Em quais desses pontos f é contínua à direita, à esquerda ou nenhum deles? Esboce o gráfico de f . f x = x + 1 ,                      ...
Para que valores de x a função f é contínua? f x = 0                     s e   x   é   r a c i o n a l 1             s e   x   é   i r r a c i o n a l é é
Diga se a função representada graficamente é contínua em [1,3]. Em caso negativo, onde ela deixa de ser contínua e por quê?
Diga se a função representada graficamente é contínua em [1,3]. Em caso negativo, onde ela deixa de ser contínua e por quê?
Dado o gráfico a seguir, responda as perguntas abaixoQue valor deve ser atribuído a f ( 2 ) para tornar a função estendida contínua em x = 2 ?