Enunciado

Prove, pela definição, que a função dada é contínua no ponto dado.

  f x = x 4 em p = - 1

Passo 1

Para provar que f é contínua em p temos que mostrar que para um ϵ > 0 existe um intervalo aberto I que contenha - 1 , de modo que:

x ∈ I ⇒ f - 1 - ϵ <   f x < f - 1 + ϵ

Isso significa que se pegarmos um x que pertença a um intervalo I que é a “vizinhança” de p , o valor da função nesse x deve estar no máximo a um ϵ de distância de f p .

Passo 2

Como os valores de x na vizinhança de - 1 são negativos, então podemos tomar o seguinte intervalo:

I = ] - - 1 4 - ϵ , - - 1 4 + ϵ [

Pois:

x ∈ I ⇒ f - 1 - ϵ <   f x < f - 1 + ϵ

x ∈ I ⇒ - 1 4 - ϵ < - 1 4 < - 1 4 + ϵ

Assim teremos:

x ∈ I ⇒ f - 1 - ϵ < x 4 < f - 1 + ϵ

Logo, f é contínua em p .

Resposta

Desenvolvimento acima.

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Use a definição de continuidade e as propriedades dos limites para mostrar que a função é contínua em um dado número a .
Explique porque a função é descontínua no número dado a . Desenho o gráfico da função.
Explique porque a função é descontínua no número dado a . Desenho o gráfico da função.
Use o teorema do valor intermediário para mostrar que existe uma raiz no intervalo especificado para a equação dada.
Use a continuidade para avaliar o limite.